ข้อมูล

บทบาทของระยะเวลาของการติดเชื้อในแบบจำลอง SIR

บทบาทของระยะเวลาของการติดเชื้อในแบบจำลอง SIR


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

ฉันหมายถึง J.H. บันทึกย่อของโจนส์เกี่ยวกับR0.


โมเดล SIR พื้นฐาน - ตามที่อธิบายไว้ในหมายเหตุของโจนส์ - พิจารณาปัจจัยสามประการที่ประกอบเป็นจำนวนการทำซ้ำ:

  • $ au$ = การแพร่กระจาย (เช่น ความน่าจะเป็นของการติดเชื้อจากการสัมผัสระหว่างบุคคลที่อ่อนแอและติดเชื้อ)

  • $overline{c}$ = อัตราเฉลี่ยของการติดต่อระหว่างบุคคลที่อ่อนแอและติดเชื้อ

  • $d$ = ระยะเวลาของการติดเชื้อ

จากนั้นจำนวนการเกิดขึ้นใหม่ (พื้นฐาน) คือ

$$R_0 = au cdot overline{c} cdot d$$

ระยะเวลาของการติดเชื้อเข้าสู่แบบจำลอง SIR พื้นฐานที่เรียกว่า อัตราการกำจัด $ u$ ซึ่งไม่ต่างอะไรกับระยะเวลาของการติดเชื้อที่ผกผัน: $ u = 1/d$:

$frac{ds}{dt} = -eta s i$

$frac{di}{dt} = eta s i - u i$

$frac{dr}{dt} = u i$

กับ

  • $s$ = เศษส่วนของบุคคลที่อ่อนแอ

  • $i$ = เศษส่วนของผู้ติดเชื้อ

  • $r$ = เศษส่วนของบุคคลที่ถูกย้ายออก (หายหรือเสียชีวิต)

  • $eta = au cdot overline{c} = R_0/d$ = อัตราการติดต่อที่มีประสิทธิภาพหรืออัตราการติดเชื้อ

คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับวิธีที่ $d$ เข้าสู่โมเดล SIR เพราะฉันพบว่ามันไม่น่าเป็นไปได้:

  • ให้พิจารณาบุคคลทั้งปวงว่า วันนี้ติดเชื้อ แล้วเอาเศษส่วน $ u$ ของพวกเขาที่จะหายในวันพรุ่งนี้

มันจะไม่น่าเชื่อถือมากขึ้นหรือ

  • ให้พิจารณาบุคคลทั้งปวงว่า ติดเชื้อ $d$ วันที่ผ่านมา และให้สิ่งเหล่านี้ถูกกู้คืนในวันพรุ่งนี้?

วิธีหลังจะมีผลโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่ออัตราการเสียชีวิตสามารถละเลยได้เช่นเมื่อ "ลบ $ประมาณ$ ฟื้นแล้ว"

ความประทับใจของฉันคือเอกสารส่วนใหญ่ที่ใช้แบบจำลอง SIR พื้นฐานแบบต่างๆ ให้ระบุระยะเวลาของการติดเชื้อด้วยวิธีแรก ซึ่งนำไปสู่การคาดคะเนที่แตกต่างจากกรณีที่ 2 อย่างมีนัยสำคัญ

ฉันใช้ทั้งสองอย่างและนี่คือความแตกต่าง (เนื่องจากวิธีการที่แตกต่างกันเท่านั้น $d$ เข้าสู่สูตรความก้าวหน้า กล่าวคือ ค่าของ $เบต้า$ และ $d$ ได้รับการแก้ไข):

(ในกรณีที่คุณสงสัยว่าเหตุใดเส้นโค้งจึงสั่น: ฉันได้จำลองภูมิคุ้มกันที่ได้มาโดยมีระยะเวลาจำกัดเพียงบางเดือน - แต่ในลักษณะเดียวกันในทั้งสองกรณี)


คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับวิธีที่ $d$ เข้าสู่โมเดล SIR เพราะฉันพบว่ามันไม่น่าเป็นไปได้:

  • เพื่อพิจารณาผู้ติดเชื้อทุกท่านในวันนี้และนำเศษ $ν$ ของพวกเขาที่จะหายในวันพรุ่งนี้

อันที่จริงแล้ว มันไม่ได้ 'สมจริง' อย่างที่คุณชี้ให้เห็น แต่ในสมมติฐานของแบบจำลอง เราเห็นว่าประชากรไม่มีโครงสร้าง (ผสมกันอย่างดี คงที่) และไม่มีเหตุการณ์เกิด-ตาย ดังนั้น ในกรณีนี้ จึงไม่เป็นปัญหาที่จะรับ $v$ เป็นค่าคงที่ในการจำลองทั้งหมด เพราะสิ่งที่คุณพยายามคำนวณคืออัตราที่เศษส่วนย่อยสามส่วนของ $N$ ($s$, $i$, และ $r$) เปลี่ยนแปลงไม่ได้จริงๆ ที่บุคคลจะย้ายจากชั้นหนึ่งไปอีกชั้นหนึ่ง (ซึ่งจริงๆแล้วคุณไม่รู้หรอกว่าถ้าพูดถึงเศษส่วนของ $N$).

มันจะไม่น่าเชื่อถือมากขึ้นหรือ

  • เพื่อพิจารณาทุกคนที่ติดเชื้อ $d$ วันที่ผ่านมาและให้สิ่งเหล่านี้ถูกกู้คืนในวันพรุ่งนี้?

ดังนั้น เมื่อพิจารณาจากความคิดเห็นก่อนหน้านี้แล้ว คงไม่สมเหตุสมผลนักที่จะใช้แบบฟอร์มหน่วงเวลาใน $d$เพราะคุณไม่สามารถรู้ได้จริงๆ ซึ่งบุคคล ติดเชื้อ ณ จุดใดจุดหนึ่ง พูดได้เฉพาะเศษส่วนของ $N$ (ไม่มีโครงสร้างประชากร ตามที่กล่าวไว้ในสูตรแบบจำลอง) ดังนั้น การที่สูตรของคุณดูเหมือนจะมีไดนามิกที่ช้ากว่านั้นอาจไม่ได้ให้ข้อมูลมากนัก เพราะสิ่งที่คุณทำก็แค่นำไปใช้ $d$ ไปเป็นเศษส่วนของชั้นประชากร ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลในเชิงคณิตศาสตร์ที่มันทำงานช้าลง แต่ตามสูตรของแบบจำลอง มันไม่สมเหตุสมผลเลย เว้นแต่คุณจะกำหนดโครงสร้างประชากรไว้ตั้งแต่ต้น (ซึ่งในนี้ ไม่ใช่กรณี) และเว้นแต่คุณจะทราบอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนชั้นเรียนแบบรายบุคคลต่อแต่ละชั้นเรียน อันที่จริง ฉันเชื่อว่าการใช้เศษส่วนของเศษส่วนจะทำให้เกิด 'การนับน้อยเกินไป' ของบุคคลเหล่านี้ซึ่งจำเป็นต้องอยู่ใน $i$ คลาส (และการนับเกินของคลาสอื่น ๆ )


ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจคำถามของคุณดีหรือไม่ แต่ฉันคิดว่าปัญหาของคุณอยู่ที่นี่แล้ว: การนำออก (และ d ของคุณ) เป็นอัตรา (เวลา/การนำออก) ไม่สำคัญว่าคุณจะเลือกเวลาใด วัน สัปดาห์ ปี ตราบใดที่คุณปรับ c (ซึ่งก็คือ /time) เป็นช่วงเวลาเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณต้องการใช้ d เป็นเวลาหลายวัน คุณต้องคำนวณรายชื่อติดต่อของคุณเป็นเวลาหลายวัน และการเปลี่ยนแปลงเพียงรายการเดียวจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต่างออกไป


เชิงนามธรรม

เราหารือกันถึงขอบเขตของแบบจำลองการแพร่กระจายของโรคที่ให้การคาดการณ์ที่เชื่อถือได้ แนวคิดของการคาดคะเนได้รับการอธิบายตามที่นักสร้างแบบจำลองเข้าใจ และแสดงให้เห็นโดยตัวอย่างคลาสสิกและล่าสุดบางส่วน เงื่อนไขเบื้องต้นสำหรับแบบจำลองเพื่อให้การทำนายที่ถูกต้องคือสมมติฐานที่อยู่ภายใต้นั้นสอดคล้องกับความเป็นจริง แต่การโต้ตอบดังกล่าวมี จำกัด อยู่เสมอ แบบจำลองทั้งหมดเป็นการทำให้ความเป็นจริงง่ายขึ้น หลักการสำคัญขององค์กรการสร้างแบบจำลองคือสิ่งที่เราอาจเรียกว่า 'วิทยานิพนธ์ที่แข็งแกร่ง': แบบจำลองที่มีข้อสันนิษฐานที่สอดคล้องกับความเป็นจริงโดยประมาณจะทำให้การคาดคะเนมีความถูกต้องโดยประมาณ เพื่อตรวจสอบการคาดการณ์ของแบบจำลองที่น่าเชื่อถือ จำเป็นต้องตรวจสอบผลลัพธ์ของแบบจำลองต่างๆ ดังนั้น หากตัวแบบอย่างง่ายอย่างสูงทำการทำนาย และถ้าการทำนายแบบเดียวกันหรือคล้ายกันมากนั้นทำขึ้นโดยแบบจำลองที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งรวมถึงกลไกหรือรายละเอียดบางอย่างที่แบบจำลองแรกไม่ได้ทำ เราก็ได้รับความมั่นใจว่าการทำนายนั้นแข็งแกร่ง . ประโยชน์ที่สำคัญที่ได้จากกิจกรรมการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือต้องการความโปร่งใสและความถูกต้องเกี่ยวกับสมมติฐานของเรา ซึ่งช่วยให้เราสามารถทดสอบความเข้าใจของเราเกี่ยวกับระบาดวิทยาของโรคโดยการเปรียบเทียบผลลัพธ์ของแบบจำลองและรูปแบบที่สังเกตได้ แบบจำลองยังสามารถช่วยในการตัดสินใจโดยการคาดการณ์เกี่ยวกับประเด็นสำคัญ เช่น การเปลี่ยนแปลงที่เกิดจากการแทรกแซงในการแพร่กระจายของโรค


สารบัญ

NS นายแบบ [6] [7] [8] [9] เป็นหนึ่งในแบบจำลองการแบ่งส่วนที่ง่ายที่สุด และแบบจำลองจำนวนมากเป็นอนุพันธ์ของรูปแบบพื้นฐานนี้ แบบจำลองประกอบด้วยสามช่อง:-

NS: จำนวน NSบุคคลที่อ่อนไหว เมื่อบุคคลที่อ่อนแอและติดเชื้อเข้าสู่ "การสัมผัสทางการติดเชื้อ" บุคคลที่อ่อนแอจะทำสัญญากับโรคและเปลี่ยนไปเป็นช่องที่ติดเชื้อ ผม: จำนวน ผมบุคคลที่ติดเชื้อ คนเหล่านี้เป็นบุคคลที่ติดเชื้อและสามารถแพร่เชื้อไปยังบุคคลที่อ่อนแอได้ NS สำหรับจำนวน NSเคลื่อนย้าย (และภูมิคุ้มกัน) หรือบุคคลที่เสียชีวิต บุคคลเหล่านี้คือผู้ที่ติดเชื้อและหายจากโรคและเข้าไปในห้องที่ถูกถอดออกหรือเสียชีวิต สันนิษฐานว่าจำนวนผู้เสียชีวิตมีน้อยมากเมื่อเทียบกับจำนวนประชากรทั้งหมด ช่องนี้เรียกอีกอย่างว่า "NSหาย" หรือ "NSสารสำคัญ".

โมเดลนี้คาดการณ์ได้อย่างสมเหตุสมผล [10] สำหรับโรคติดเชื้อที่ติดต่อจากคนสู่คน และในกรณีที่การฟื้นตัวทำให้เกิดการดื้อยาได้ยาวนาน เช่น โรคหัด โรคคางทูม และหัดเยอรมัน

ตัวแปรเหล่านี้ (NS, ผม, และ NS) แทนจำนวนคนในแต่ละช่อง ณ เวลาหนึ่งๆ เพื่อแสดงว่าจำนวนบุคคลที่อ่อนแอ ติดเชื้อ และถูกกำจัดอาจแตกต่างกันไปตามช่วงเวลา (แม้ว่าขนาดประชากรทั้งหมดจะคงที่) เรากำหนดให้ตัวเลขที่แม่นยำเป็นฟังก์ชันของ NS (เวลา): NS(NS), ผม(NS) และ NS(NS). สำหรับโรคเฉพาะในกลุ่มประชากรเฉพาะ ฟังก์ชันเหล่านี้อาจใช้การได้เพื่อคาดการณ์การระบาดที่เป็นไปได้และควบคุมได้ [10]

ตามที่บอกเป็นนัยโดยฟังก์ชันตัวแปรของ NS, โมเดลมีไดนามิกโดยที่ตัวเลขในแต่ละช่องอาจผันผวนตามกาลเวลา ความสำคัญของลักษณะแบบไดนามิกนี้ชัดเจนที่สุดในโรคประจำถิ่นที่มีระยะเวลาการติดเชื้อสั้น เช่น โรคหัดในสหราชอาณาจักรก่อนที่จะมีการนำวัคซีนมาใช้ในปี 1968 โรคดังกล่าวมักจะเกิดขึ้นในวัฏจักรของการระบาดเนื่องจากความผันแปรของจำนวน ของกลุ่มเสี่ยง (S(NS)) ล่วงเวลา. ในช่วงที่มีการระบาดของโรค จำนวนของบุคคลที่อ่อนแอจะลดลงอย่างรวดเร็ว เนื่องจากมีผู้ติดเชื้อมากขึ้นและเข้าสู่ช่องที่ติดเชื้อและถูกกำจัดออกไป โรคนี้ไม่สามารถแพร่ระบาดได้อีกจนกว่าจำนวนผู้ป่วยจะกลับคืนมาเช่น อันเป็นผลมาจากการที่ลูกหลานเกิดมาในช่องที่อ่อนแอ

สมาชิกของประชากรแต่ละคนมักจะก้าวหน้าจากอ่อนแอไปสู่การติดเชื้อไปสู่การฟื้นตัว นี้สามารถแสดงเป็นแผนภาพการไหลที่กล่องเป็นตัวแทนของช่องต่างๆ และลูกศรการเปลี่ยนแปลงระหว่างช่องเช่น

อัตราการเปลี่ยนแปลง แก้ไข

สำหรับข้อมูลจำเพาะทั้งหมดของรุ่น ลูกศรควรติดป้ายกำกับด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลงระหว่างช่องต่างๆ ระหว่าง NS และ ผม, อัตราการเปลี่ยนแปลงจะถือว่าเป็น d(S/N)/dt = -βSI/N 2 , ที่ไหน NS คือจำนวนประชากรทั้งหมด β คือจำนวนเฉลี่ยของการติดต่อต่อคนต่อครั้ง คูณด้วยความน่าจะเป็นของการแพร่กระจายของโรคในการติดต่อระหว่างผู้ที่อ่อนแอและบุคคลที่ติดเชื้อ และ SI/N 2 คือเศษส่วนของการติดต่อระหว่างบุคคลที่ติดเชื้อและอ่อนแอซึ่งส่งผลให้บุคคลที่อ่อนแอติดเชื้อ (นี่เป็นคณิตศาสตร์ที่คล้ายกับกฎการกระทำของมวลในวิชาเคมีซึ่งการชนกันแบบสุ่มระหว่างโมเลกุลส่งผลให้เกิดปฏิกิริยาเคมีและอัตราเศษส่วนเป็นสัดส่วนกับความเข้มข้นของสารตั้งต้นทั้งสอง)

ระหว่าง ผม และ NS, อัตราการเปลี่ยนแปลงจะถือว่าเป็นสัดส่วนกับจำนวนผู้ติดเชื้อซึ่งก็คือ γผม. ซึ่งเทียบเท่ากับสมมติว่าความน่าจะเป็นที่ผู้ติดเชื้อจะฟื้นตัวในช่วงเวลาใดก็ได้ dt เป็นเพียง γdt. หากบุคคลติดเชื้อเป็นระยะเวลาเฉลี่ย NSจากนั้น γ = 1/NS. นี่ยังเทียบเท่ากับการสันนิษฐานว่าระยะเวลาที่ใช้โดยบุคคลในสถานะติดเชื้อนั้นเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล โมเดล SIR "คลาสสิก" อาจแก้ไขได้โดยใช้การแจกแจงที่ซับซ้อนและสมจริงมากขึ้นสำหรับอัตราการเปลี่ยน I-R (เช่น การแจกแจง Erlang [11] )

สำหรับกรณีพิเศษที่ไม่มีการกำจัดออกจากช่องที่ติดเชื้อ (γ=0) โมเดล SIR จะลดขนาดลงเป็นแบบจำลอง SI ที่ง่ายมาก ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาด้านลอจิสติกส์ ซึ่งแต่ละคนจะติดเชื้อในที่สุด

โมเดล SIR ที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญ Edit

พลวัตของโรคระบาด เช่น ไข้หวัดใหญ่ มักจะเร็วกว่าการเปลี่ยนแปลงของการเกิดและการตาย ดังนั้น การเกิดและการตายจึงมักถูกละไว้ในรูปแบบการแบ่งส่วนอย่างง่าย ระบบ SIR ที่ไม่มีสิ่งที่เรียกว่าพลวัตที่สำคัญ (การเกิดและการตาย บางครั้งเรียกว่าประชากรศาสตร์) ที่อธิบายข้างต้นสามารถแสดงได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญชุดต่อไปนี้ [7] [12]

โมเดลนี้เป็นครั้งแรกที่เสนอโดย William Ogilvy Kermack และ Anderson Grey McKendrick ให้เป็นกรณีพิเศษของสิ่งที่เราเรียกว่าทฤษฎี Kermack–McKendrick และติดตามผลงานที่ McKendrick ทำกับ Ronald Ross

ระบบนี้ไม่เป็นเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะได้รับโซลูชันการวิเคราะห์ในรูปแบบโดยปริยาย [6] ก่อนอื่นโปรดทราบว่าจาก:

ประการที่สอง เราสังเกตว่าพลวัตของคลาสติดเชื้อขึ้นอยู่กับอัตราส่วนต่อไปนี้:

หมายเลขการทำซ้ำพื้นฐานที่เรียกว่า (เรียกอีกอย่างว่าอัตราส่วนการทำซ้ำพื้นฐาน) อัตราส่วนนี้มาจากจำนวนที่คาดหวังของการติดเชื้อใหม่ (การติดเชื้อใหม่เหล่านี้บางครั้งเรียกว่าการติดเชื้อทุติยภูมิ) จากการติดเชื้อครั้งเดียวในประชากรที่ทุกวิชามีความเสี่ยง [13] [14] แนวคิดนี้น่าจะมองเห็นได้ชัดเจนขึ้น ถ้าเราบอกว่าเวลาปกติระหว่างผู้ติดต่อคือ T c = β − 1 =eta ^<-1>> , และเวลาปกติจนถึงการลบคือ T r = γ − 1 =gamma ^<-1>> . จากนี้ไป โดยเฉลี่ยแล้ว จำนวนการติดต่อของผู้ติดเชื้อกับผู้อื่น ก่อน การติดเชื้อถูกลบออกคือ: T r / T c . <รูปแบบการแสดงผล T_/NS_.>

โดยการหารสมการอนุพันธ์อันแรกด้วยสาม แยกตัวแปรและรวมเข้าด้วยกันเราจะได้

(โปรดทราบว่าช่องที่ติดเชื้อจะว่างเปล่าในขีดจำกัดนี้) สมการยอดเยี่ยมนี้มีคำตอบในแง่ของฟังก์ชัน Lambert W [15] คือ

บทบาทของทั้งจำนวนการสืบพันธุ์พื้นฐานและความอ่อนไหวเบื้องต้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง อันที่จริงเมื่อเขียนสมการสำหรับผู้ติดเชื้อใหม่ดังนี้:

กล่าวคือ จะมีการระบาดของโรคระบาดที่เหมาะสมกับจำนวนผู้ติดเชื้อที่เพิ่มขึ้น (ซึ่งสามารถเข้าถึงประชากรในสัดส่วนที่มาก) ในทางตรงกันข้าม ถ้า

กล่าวคือ โดยไม่ขึ้นกับขนาดเริ่มต้นของประชากรที่อ่อนแอ โรคนี้ไม่สามารถทำให้เกิดการระบาดของโรคระบาดที่เหมาะสมได้ ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นที่ชัดเจนว่าทั้งจำนวนการสืบพันธุ์พื้นฐานและความอ่อนไหวในขั้นต้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง

พลังแห่งการติดเชื้อ Edit

โปรดทราบว่าในแบบจำลองข้างต้น ฟังก์ชัน:

จำลองอัตราการเปลี่ยนแปลงจากช่องของบุคคลที่อ่อนแอไปยังช่องของบุคคลที่ติดเชื้อ เพื่อให้เรียกว่าพลังของการติดเชื้อ อย่างไรก็ตาม สำหรับโรคติดต่อกลุ่มใหญ่ การพิจารณากำลังของการติดเชื้อจะมีความสมจริงมากกว่า โดยไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนผู้ติดเชื้อแน่นอน แต่ขึ้นอยู่กับเศษส่วน (เทียบกับจำนวนประชากรคงที่ทั้งหมด N ):

Capasso [16] และหลังจากนั้น ผู้เขียนคนอื่นๆ ได้เสนอกองกำลังของการติดเชื้อแบบไม่เชิงเส้นเพื่อสร้างแบบจำลองกระบวนการติดเชื้อที่สมจริงยิ่งขึ้น

โซลูชันการวิเคราะห์ที่แม่นยำสำหรับแบบจำลอง SIR Edit

ในปี 2014 Harko และผู้เขียนร่วมได้รับโซลูชันการวิเคราะห์ที่เรียกว่าแน่นอน (เกี่ยวข้องกับอินทิกรัลที่สามารถคำนวณได้เฉพาะตัวเลข) กับแบบจำลอง SIR [6] ในกรณีที่ไม่มีการตั้งค่าไดนามิกที่สำคัญ สำหรับ S ( u ) = S ( t ) >(u)=S(t)> ฯลฯ มันสอดคล้องกับพารามิเตอร์เวลาต่อไปนี้

โซลูชันเชิงวิเคราะห์ที่เรียกว่าเทียบเท่า (เกี่ยวข้องกับอินทิกรัลที่สามารถคำนวณได้เป็นตัวเลขเท่านั้น) พบโดย Miller [17] [18] ให้ผลตอบแทน

ผลลัพธ์เดียวกันนี้สามารถพบได้ในผลงานต้นฉบับของ Kermack และ McKendrick [4]

ค่าประมาณการวิเคราะห์ที่แม่นยำสูงของแบบจำลอง SIR เช่นเดียวกับนิพจน์การวิเคราะห์ที่แม่นยำสำหรับค่าสุดท้าย S ∞ > , I ∞ > , และ R ∞ > จัดทำโดย Kröger และ Schlickeiser [8] เพื่อให้ไม่จำเป็นต้องดำเนินการรวมเชิงตัวเลขเพื่อแก้ไขแบบจำลอง SIR เพื่อรับพารามิเตอร์จากข้อมูลที่มีอยู่ หรือเพื่อคาดการณ์การเปลี่ยนแปลงในอนาคตของแบบจำลองโรคระบาด โดยรูปแบบ SIR ค่าประมาณนี้เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน Lambert W ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของซอฟต์แวร์สร้างภาพข้อมูลพื้นฐานทั้งหมด เช่น Microsoft Excel, MATLAB และ Mathematica

แบบจำลอง SIR ที่มีพลวัตที่สำคัญและจำนวนประชากรคงที่ Edit

พิจารณาประชากรที่มีอัตราการเสียชีวิต μ และอัตราการเกิด Λ และที่ซึ่งโรคติดต่อแพร่กระจาย [7] รุ่นที่มีการส่งสัญญาณมวลคือ:

ซึ่งสมดุลปลอดโรค (DFE) คือ:

ในกรณีนี้ เราสามารถหาจำนวนการทำซ้ำพื้นฐานได้:

ซึ่งมีคุณสมบัติธรณีประตู อันที่จริง โดยอิสระจากค่าเริ่มต้นที่มีความหมายทางชีวภาพ เราสามารถแสดงให้เห็นว่า:


บทบาทของระยะเวลาของการติดเชื้อในแบบจำลอง SIR - ชีววิทยา

คุณได้ร้องขอการแปลด้วยคอมพิวเตอร์สำหรับเนื้อหาที่เลือกจากฐานข้อมูลของเรา ฟังก์ชันนี้มีให้เพื่อความสะดวกของคุณเท่านั้นและไม่ได้มีวัตถุประสงค์เพื่อแทนที่การแปลโดยมนุษย์ ทั้ง BioOne หรือเจ้าของและผู้จัดพิมพ์เนื้อหาไม่ได้ทำ และพวกเขาปฏิเสธอย่างชัดแจ้ง การรับรองหรือการรับประกันใด ๆ โดยชัดแจ้งหรือโดยปริยายใด ๆ รวมถึงแต่ไม่จำกัดเพียงการรับรองและการรับประกันเกี่ยวกับการทำงานของคุณสมบัติการแปลหรือความถูกต้องหรือความสมบูรณ์ของ การแปล

การแปลจะไม่ถูกเก็บไว้ในระบบของเรา การใช้คุณสมบัตินี้และการแปลของคุณอยู่ภายใต้ข้อจำกัดการใช้งานทั้งหมดที่มีอยู่ในข้อกำหนดและเงื่อนไขการใช้งานของเว็บไซต์ BioOne

บทความวิจัย: ผลกระทบของการติดเชื้อ ระยะเวลาของการเจ็บป่วย และโอกาสในการฟื้นตัวของประชากร: การศึกษาแบบจำลอง

แมคเคย์ล่า จอห์นสัน 1 ทาชัวนา กิลเลียม 1 อิสวาน คาร์ไซ 1*

1 มหาวิทยาลัย East Tennessee State, Johnson City TN 37614

* ติดต่อกับ: Istvan Karsai. Department of Biological Sciences, East Tennessee State University, Johnson City TN 37614 USA โทรศัพท์ (423) 439-5601 [email protected]

รวม PDF และ HTML เมื่อมี

บทความนี้ใช้ได้เฉพาะกับ สมาชิก.
ไม่สามารถขายแยกได้

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้กลายเป็นแนวทางหลักในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์เมื่อไม่สามารถออกแบบการทดลองที่เพียงพอได้ การสร้างแบบจำลองตามตัวแทนให้การประเมินอย่างรวดเร็วของสถานการณ์ที่เป็นไปได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาทางระบาดวิทยาที่เป้าหมายคือดำเนินการตามขั้นตอนการป้องกันที่รวดเร็วและมีประสิทธิภาพเมื่อเกิดการติดเชื้อ ในบทความนี้ วิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างการติดเชื้อ โอกาสในการฟื้นตัว ระยะเวลาของโรคไมโครปรสิต และการเปลี่ยนแปลงของประชากรของโฮสต์ผ่านการสุ่มค่าพารามิเตอร์ในระบบแบบจำลองอย่างง่าย โรคที่มีอัตราการติดเชื้อต่ำมากไม่สามารถแพร่ระบาดในประชากรได้ เว้นแต่ความหนาแน่นของประชากรจะสูงและระยะเวลาของการเจ็บป่วยจะยาวนาน ในกรณีที่อัตราการฟื้นตัวต่ำ จำนวนผู้ป่วยและภูมิคุ้มกันจะแสดงค่าสูงสุดที่อัตราการติดเชื้อ 30% เมื่อขนาดของประชากรลดลง ความหนาแน่นของประชากรก็ลดลง ดังนั้นอัตราการแพร่เชื้อก็ลดลงเช่นกัน ผลกระทบนี้นำไปสู่ขนาดสมดุลใหม่ของประชากร ซึ่งจำนวนการเกิดและการตายจะสมดุลกัน และประชากรส่วนใหญ่ได้รับภูมิคุ้มกัน จากแบบจำลองการจำลองเหล่านี้ คุณสมบัติแบบไดนามิกของประชากรมีส่วนทำให้เกิดการฟื้นตัวของการเจ็บป่วยอันเนื่องมาจากการติดเชื้อจากโรคไมโครปรสิต

McKayla Johnson, Tashauna Gilliam และ Istvan Karsai "บทความวิจัย: The Effect of Infectiousness, Duration of Sickness, and Chance of Recovery on a Population: A Simulation Study," BIOS 80(3), 99-104, (1 กันยายน 2552) . https://doi.org/10.1893/011.080.0312

ได้รับ: 14 กรกฎาคม 2008 ยอมรับ: 1 มกราคม 2009 เผยแพร่: 1 กันยายน 2009


พื้นหลัง

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถใช้เพื่อทำความเข้าใจว่าไวรัสแพร่กระจายภายในประชากรได้อย่างไร สาระสำคัญของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อยู่ที่การเขียนชุดสมการทางคณิตศาสตร์ที่เลียนแบบความเป็นจริง สิ่งเหล่านี้จะได้รับการแก้ไขสำหรับค่าบางค่าของพารามิเตอร์ภายในสมการ โซลูชันของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถปรับปรุงได้เมื่อเราใช้ข้อมูลที่เราทราบเกี่ยวกับการแพร่กระจายของไวรัสแล้ว เช่น ข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับจำนวนการรายงานการติดเชื้อ จำนวนการรายงานการรักษาในโรงพยาบาล หรือจำนวนผู้เสียชีวิตที่ได้รับการยืนยันจากการติดเชื้อ กระบวนการปรับแต่งแบบจำลอง (หรือการปรับเทียบ) นี้สามารถทำได้หลายครั้งจนกว่าคำตอบของสมการทางคณิตศาสตร์จะสอดคล้องกับสิ่งที่เราทราบเกี่ยวกับการแพร่กระจายของไวรัสแล้ว แบบจำลองที่ปรับเทียบแล้วสามารถใช้เพื่อบอกเราเพิ่มเติมเกี่ยวกับพฤติกรรมในอนาคตของการแพร่กระจายไวรัส ผลลัพธ์หนึ่งของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือเส้นกราฟที่คาดการณ์ไว้ซึ่งแสดงถึงจำนวนการติดเชื้อที่เกิดจากไวรัสในช่วงเวลาหนึ่ง การใช้พารามิเตอร์ต่างๆ ในแบบจำลอง ซึ่งอาจแสดงให้เห็นถึงการแทรกแซงที่แตกต่างกัน หรือการปรับเทียบแบบจำลองกับข้อมูลที่แตกต่างกัน สามารถเปลี่ยนเส้นโค้งการแพร่ระบาดที่คาดการณ์ไว้ได้


ชีวประวัติ

Ted G. Lewis เป็นนักเขียน วิทยากร และที่ปรึกษาที่เชี่ยวชาญในทฤษฎีความซับซ้อนประยุกต์ ความปลอดภัยในประเทศ ระบบโครงสร้างพื้นฐาน และกลยุทธ์การเริ่มต้นในระยะเริ่มต้น เขาเคยทำงานทั้งในภาครัฐ ภาคอุตสาหกรรม และสถาบันการศึกษาตลอดอาชีพการทำงานที่ยาวนาน และดำรงตำแหน่งต่างๆ รวมถึงกรรมการบริหารและศาสตราจารย์ด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์, ศูนย์การป้องกันและความมั่นคงแห่งมาตุภูมิ, โรงเรียนระดับสูงกว่าปริญญาตรีของกองทัพเรือ เมืองมอนเทอเรย์ รัฐแคลิฟอร์เนีย 93943 รองประธานอาวุโสของ Eastman Kodak ประธานและซีอีโอของ DaimlerChrysler Research and Technology, North America, Inc ศาสตราจารย์ด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่ Oregon State University, Corvallis, OR นอกจากนี้ เขายังดำรงตำแหน่งบรรณาธิการบริหารของวารสารหลายฉบับ ได้แก่ IEEE Computer Magazine, IEEE Software Magazine ในฐานะสมาชิกคนหนึ่งของ IEEE Computer Society Board of Governors ปัจจุบันเขาเป็นสมาชิกคณะกรรมการที่ปรึกษาของ ACM Ubiquity and Cosmos + Taxis Journal (The Sociology of Hayek) เขาได้ตีพิมพ์หนังสือมากกว่า 35 เล่ม ล่าสุด ได้แก่ The Signal: A History of Signal Processing, Book of Extremes: The Complexity of Everyday Things, Sand Pile: Strategies for a Catastrophic World, Network Science: Theory and Practice และ การปกป้องโครงสร้างพื้นฐานที่สำคัญในความมั่นคงแห่งมาตุภูมิ: การปกป้องประเทศในเครือข่าย, ฉบับที่ 3 Lewis ได้เขียนหรือร่วมเขียนบทความทางวิชาการมากมายในวารสารข้ามสาขาวิชา เช่น Cognitive Systems Research, Homeland Security Affairs Journal, Journal of Risk Finance, Journal of Information Warfare, IEEE Parallel & Distributed Technology, Communications of the ACM และ American Scientist . Lewis อาศัยอยู่กับภรรยาและสุนัขคอร์กี้ของเขาในเมืองมอนเทอเรย์ รัฐแคลิฟอร์เนีย

Waleed I. Al Mannai ดำรงตำแหน่งในกระทรวงกลาโหมบาห์เรนเป็นเวลา 37 ปีและเกษียณอายุในฐานะพันเอกที่มีประสบการณ์มากมายในด้านเครื่องบินบินทางทหาร การปฏิบัติการทางทหาร และสถาบันการศึกษา เขาได้รับปริญญาเอกของเขา ในด้านการสร้างแบบจำลอง สภาพแวดล้อมเสมือนจริง และการจำลองจาก Naval Postgraduate School ในเมืองมอนเทอเรย์ รัฐแคลิฟอร์เนีย สาขาวิศวกรรมการบินจาก Naval Postgraduate School ในเมืองมอนเทอเรย์ รัฐแคลิฟอร์เนีย ในสาขาวิศวกรรมการบินและอวกาศจาก Northrop University ในลอสแองเจลิสแคลิฟอร์เนีย สาขาที่เขาสนใจ ได้แก่ การสร้างแบบจำลองและการจำลอง ความเสี่ยงเครือข่าย Critical Infrastructure Protection (CIP) และการวิเคราะห์ข้อมูลและการวิเคราะห์การตัดสินใจของฝ่ายบริหาร


วิธีการ

การปรับปรุงบนแบบจำลอง SEIR พื้นฐาน

กรอบงานทางคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมและค่อนข้างง่ายสำหรับการศึกษาโรคระบาดในระดับประชากรคือแบบจำลองแบบแบ่งกลุ่มที่อ่อนไหว/เปิดเผย/ติดเชื้อ/ฟื้นตัว (SEIR) โมเดล SEIR คลาสสิกพิจารณาสี่ส่วน: ประชากรที่อ่อนแอ NS(NS) ในเวลา NS (กล่าวคือ บุคคลที่มีสุขภาพดีซึ่งไม่ได้สัมผัสกับโรค) ประชากรที่สัมผัส อี(NS) (บุคคลที่ติดเชื้อไวรัสแต่ยังไม่แสดงอาการ) ประชากรที่ติดเชื้อ ผม(NS) (แสดงอาการและอาการแสดงของการเจ็บป่วย) ประชากรที่ฟื้นตัว NS(NS) (ในมุมมองที่เข้าใจง่ายเกินไป คือจำนวนบุคคลที่ไม่สามารถแพร่เชื้อให้ผู้อื่นได้อีก) ในระบบปิดที่ไม่นับการเกิดหรือการตาย ผลรวมของช่องเหล่านี้ (N = S(t)+E(t) +I(t)+R(t)) จะคงที่ตามเวลา ไดนามิกคู่ของส่วนเหล่านี้อธิบายโดยระบบสมการต่อไปนี้:

พารามิเตอร์ (eta) คือจำนวนเฉลี่ยของผู้ติดต่อต่อคนต่อครั้ง คูณด้วยความน่าจะเป็นของการแพร่ของโรคผ่านการสัมผัสระหว่างบุคคลที่อ่อนแอและบุคคลที่ถือไวรัส พาหะสามารถติดเชื้อหรือสัมผัสได้ โดยมีเศษส่วน (SI/N^2) แสดงถึงความน่าจะเป็นของการสัมผัสโดยพลการระหว่างบุคคลที่อ่อนแอและติดเชื้อ และเศษส่วน (SE/N^2) สอดคล้องกับความเป็นไปได้ของการติดต่อระหว่างบุคคลที่อ่อนแอและบุคคลที่เปิดเผย แบบจำลองนี้ทำให้มีความเป็นไปได้ที่การติดต่อกับบุคคลที่เปิดเผยอาจมีโอกาสในการแพร่เชื้อที่แตกต่างจากที่ทำกับบุคคลที่ติดเชื้อ ซึ่งสะท้อนให้เห็นในปัจจัยการสเกล NS). อัตราการเปลี่ยนแปลงที่ผู้คนเปิดเผยจะมีรูปแบบ (-d(S/N)/dt = eta S(I+qE)/N^2) นำไปสู่สมการแรก (dS/dt = -เบต้า S(I+qE)/N) อัตราการถ่ายโอนจากระยะที่สัมผัสถึงขั้นติดเชื้อคือเศษส่วน (1/delta) ของจำนวนบุคคลที่สัมผัส โดยที่ (delta) คือเวลาเฉลี่ยที่บุคคลที่สัมผัสจะติดเชื้อ อัตราการกู้คืนคือเศษส่วน (1/gamma) ของประชากรที่ติดเชื้อ โดยที่ (gamma) คือเวลาเฉลี่ยที่บุคคลต้องตายหรือฟื้นตัวเมื่ออยู่ในระยะติดเชื้อ โมเดลนี้ได้ถูกนำไปใช้ในรูปแบบดั้งเดิมแล้วสำหรับการประเมินการแพร่ระบาดในขั้นต้นในอู่ฮั่น ประเทศจีน 11 เราจะปรับโมเดลนี้เพื่อรวมข้อมูลทางระบาดวิทยาล่าสุดด้วยวิธีต่างๆ สองสามวิธี

การแพร่เชื้อ

หลักฐานทางคลินิกยืนยันว่าการแพร่กระจายของ COVID 19 เกิดขึ้นจากคนสู่คนผ่านหลายช่องทาง: การสัมผัสกับละอองทางเดินหายใจที่เกิดจากบุคคลที่ติดเชื้อผ่านการหายใจ การจาม หรือการไอของผู้ติดเชื้อโดยตรง (คนสู่คน) หรือโดยอ้อม (มือ) - เป็นสื่อกลาง) การถ่ายโอนไวรัสจากเชื้อที่ปนเปื้อนไปยังปาก จมูก หรือตา 12 . การโจมตีและระยะเวลาของการแพร่กระจายของไวรัสและระยะเวลาของการติดเชื้อ COVID 19 ยังไม่ทราบแน่ชัด จากวรรณกรรมที่มีอยู่ ระยะฟักตัว (เวลาจากการสัมผัสกับการพัฒนาของอาการ) ของ SARS-CoV-2 โดยทั่วไปอยู่ในช่วง 2–14 วัน 13 โดยมีค่าเฉลี่ย 5.2 วัน 11 จากหลักฐานปัจจุบัน นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าผู้ที่ติดเชื้อโควิด 19 ในระดับเล็กน้อยถึงปานกลางอาจหลั่ง SARS-CoV-2 ที่มีความสามารถการจำลองแบบได้นานถึง 10 วันหลังจากเริ่มมีอาการ ในขณะที่ผู้ป่วยโควิด 19 ระดับรุนแรงจำนวนเล็กน้อย รวมถึงผู้ที่มีภูมิคุ้มกันบกพร่องอาจ หลั่งไวรัสที่มีความสามารถจำลองแบบได้นานถึง 20 วัน 13 . ด้วยค่า (R_0) สำหรับ COVID 19 โดยประมาณระหว่าง 1.9–3.3 11,14,15 และระยะเวลาติดเชื้อ 10–20 วัน 13 (อัตราการฟื้นตัว (1/gamma) ระหว่าง 0.05 ถึง 0.1) อัตราการติดเชื้อ (1/delta) ประมาณ 0.07–0.5 และอัตราการส่ง (eta =R_0 gamma) ระหว่าง 0.1–0.3 11 ในขณะที่มาตรการจำกัดการจราจรทำหน้าที่ลดการแพร่เชื้อโดยการลดจำนวนผู้ติดต่อโดยรวม (ป้องกันบุคคลและผู้ให้บริการที่อ่อนแอจากการแบ่งปันพื้นที่เดียวกัน) มาตรการทางสังคมเช่นการฆ่าเชื้อมือการสังเกตระยะห่างทางกายภาพการสวมหน้ากากการหลีกเลี่ยงการปนเปื้อนโดยการสัมผัสพื้นผิวสามารถทำได้ทั้งหมด ถูกมองว่าเป็นปัจจัยที่มีผลต่อการลดพารามิเตอร์ (eta) (โดยการลดความน่าจะเป็นของการแพร่ระบาดเมื่อผู้อ่อนแอและผู้เป็นพาหะอยู่ในตำแหน่งเดียวกัน)

ในแง่ของปริมาณไวรัส SARS-CoV-2 จะเพิ่มขึ้นสูงสุดในช่วงเวลาที่เริ่มมีอาการ 16,17 ซึ่งบ่งชี้ว่าจุดสูงสุดของการแพร่เชื้ออาจเกิดขึ้นในระยะแรกของการติดเชื้อ 12 แม้กระทั่งสองสามวันก่อนตรวจพบ อาการ 9,18,19 . ในการจับภาพรูปแบบเหล่านี้ในไทม์ไลน์การส่งข้อมูล เราได้แบ่งพาร์ติชั่น Exposed แบบเดิมเพิ่มเติม เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างบุคคลที่แฝงอยู่ หลี่(NS) (ผู้ที่เคยสัมผัสเชื้อไวรัสแต่ยังอยู่ในระยะแฝงที่ค่อนข้างไม่ติดเชื้อ) และบุคคลที่ไม่มีอาการ NS(NS) (ที่เข้าสู่ระยะการแพร่กระจายสูง แต่ยังไม่แสดงอาการ)

การส่งผ่านที่ไม่มีอาการและไม่แสดงอาการ

ในแบบจำลองของเรา เราพิจารณาแยกกันสำหรับการส่งสัญญาณก่อนแสดงอาการและไม่มีอาการ โดยแนะนำช่องใหม่สองช่อง NS(NS) และ NS(NS) ตามลำดับ ในการทำเช่นนั้น เราใช้ข้อมูลทางระบาดวิทยาล่าสุดที่ประเมินสัดส่วนของกรณีที่ไม่มีอาการ (ยังไม่ทราบขอบเขตของการติดเชื้อที่ไม่มีอาการอย่างแท้จริงในชุมชน) สัดส่วนของผู้ที่ติดเชื้อโดยไม่มีอาการมีแนวโน้มว่าจะแตกต่างกันไปตามอายุ เนื่องจากความชุกของภาวะแวดล้อมที่เพิ่มมากขึ้นในกลุ่มอายุ 20 ปีขึ้นไป การศึกษาการแพร่เชื้อจากผู้ติดเชื้อที่ไม่มีอาการเป็นเรื่องยาก เนื่องจากจำเป็นต้องรวบรวมข้อมูลยืนยันผ่านการติดตามการติดต่อโดยละเอียด 20 ข้อมูลที่มีอยู่ ซึ่งส่วนใหญ่มาจากการศึกษาทางระบาดวิทยาของกรณีและการติดต่อ มีคุณภาพแตกต่างกันไปและไม่ได้ให้ข้อสรุปที่สอดคล้องกัน 12 ในการทบทวนล่าสุด สัดส่วนของผู้ป่วยที่ไม่มีอาการในการวินิจฉัยในเชิงบวกอยู่ที่ประมาณ 16% (โดยมีช่วงตั้งแต่ 6 ถึง 41%) 6 การทบทวนอีกครั้งพบว่า 25% ของผู้ป่วยไม่มีอาการในขณะที่ทำการทดสอบในเชิงบวก แต่มีเพียง 8.4% เท่านั้นที่ยังคงอยู่ตลอดระยะเวลาติดตามผล 21 พารามิเตอร์แบบจำลองที่สอดคล้องกันของเราอิงตามช่วงโดยประมาณเหล่านี้

ในแง่ของการติดเชื้อ ได้รับการแนะนำโดยการศึกษาแบบจำลองที่ตรวจสอบด้วยข้อมูลแล้วว่าการส่งสัญญาณก่อนแสดงอาการมีส่วนทำให้เกิดการส่งสัญญาณในสิงคโปร์และจีนถึง 48% และ 62% ตามลำดับ 22 ซึ่งแสดงให้เห็นปัจจัยการสเกลการส่งสัญญาณขนาดใหญ่ (NS ค่า) สอดคล้องกับช่องก่อนแสดงอาการ (ไม่นานก่อนเริ่มมีอาการ) ในทางกลับกัน ค่าสัมประสิทธิ์ที่เลือกสำหรับช่องแฝงและไม่มีอาการนั้นค่อนข้างเล็ก เนื่องจากองค์การอนามัยโลกระบุในเดือนมิถุนายนว่าการแพร่เชื้อจากบุคคลที่ไม่มีอาการล้วนๆ ต่ำ 23 . อย่างไรก็ตาม ถ้อยแถลงดังกล่าวอยู่ภายใต้ข้อโต้แย้งที่อุกอาจ และไม่ได้หมายความว่าการถ่ายทอดแบบไม่แสดงอาการไม่สามารถมีส่วนสำคัญในการขับเคลื่อนการเติบโตของการระบาดใหญ่ของโควิด 19 ตามที่การศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ได้เสนอแนะ 24,25 เรารวมความเป็นไปได้นี้ไว้ในการวิเคราะห์ด้วยวิธีการสร้างแบบแยกส่วนและประมาณการตามความเป็นจริงของพารามิเตอร์ทางระบาดวิทยา

การตาย

อัตราการเสียชีวิตที่สูงในการระบาดของ COVID 19 กำหนดให้โมเดลของเรามีช่องสำหรับผู้เสียชีวิตโดยเฉพาะ ซึ่งเราจะเรียกว่า NS. การเปลี่ยนแปลงของอายุและการกระจายของ COVID 19 นั้นจำเป็นต้องมีอัตราการเสียชีวิตขึ้นอยู่กับอายุ (ตามที่อธิบายด้านล่าง) ช่องการเสียชีวิตเป็นช่องเดียวของแบบจำลองที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์กับส่วนที่เหลือของระบบการแพร่ระบาด

ภูมิคุ้มกัน

หลักฐานล่าสุดชี้ให้เห็นว่าผู้ที่หายดีแล้วส่วนใหญ่อาจมีภูมิคุ้มกัน แต่การรักษานี้จะมีประสิทธิภาพในระยะยาวหรือไม่ยังคงเป็นที่น่าสงสัย การตอบสนองทางภูมิคุ้มกันต่อ SARS-CoV-2 เกี่ยวข้องกับการสร้างภูมิคุ้มกันโดยอาศัยเซลล์และการผลิตแอนติบอดี อย่างไรก็ตาม การตรวจหาแอนติบอดีต่อ SARS-CoV-2 บ่งชี้ว่ายังไม่มีการสร้างภูมิคุ้มกันป้องกัน 26 . บุคคลส่วนใหญ่ที่ติดเชื้อ SARS-CoV-2 แสดงการตอบสนองของแอนติบอดีระหว่างวันที่ 10 และวันที่ 21 หลังการติดเชื้อ 27,28,29,30 เพื่อจุดประสงค์ในการสร้างแบบจำลอง จึงสามารถสันนิษฐานได้ว่าภูมิคุ้มกันถูกสร้างขึ้นในช่วงเวลาเดียวกับการหยุดไวรัส การไหลออก (ซึ่งในแบบจำลองของเรา เราระบุว่าเป็น "การกู้คืน") พบว่าระดับแอนติบอดี SARS-CoV-2 อาจคงอยู่ตลอดเจ็ดสัปดาห์ที่ 31 หรืออย่างน้อยใน 80% ของกรณีจนถึงวันที่ 49 32 แต่ผลลัพธ์ในการมีอายุยืนยาวและประสิทธิภาพของการตอบสนองของแอนติบอดีไม่สอดคล้องกัน มีการแสดงการติดเชื้อเบื้องต้นด้วย SARS-CoV-2 เพื่อปกป้องลิงแสมจากการท้าทายที่ตามมา และทำให้เกิดข้อสงสัย 33 ในรายงานการติดเชื้อซ้ำด้วย SARS-CoV-2 34 จากการเปลี่ยนแปลงที่สังเกตได้ของแอนติบอดีที่ลดลงใน coronaviruses (ตามฤดูกาล) อื่น ๆ การศึกษาพบว่าระยะเวลาของภูมิคุ้มกันป้องกันกินเวลา 6-12 เดือน 35 . เพื่อสะท้อนถึงข้อมูลทั้งหมดนี้ แบบจำลองของเราใช้สถานการณ์สมมติที่แตกต่างกันของระยะเวลาภูมิคุ้มกันตั้งแต่ 60 ถึง 365 วัน เมื่อนำบุคคลที่ฟื้นคืนสู่กลุ่มเสี่ยง เนื่องจากความยาวของภูมิคุ้มกันไม่ใช่ปัจจัยที่เรากำลังตรวจสอบในบทความนี้โดยเฉพาะ เราจึงใช้กรอบเวลาภูมิคุ้มกันคงที่ 180 วันสำหรับภาพประกอบทั้งหมดของเราเพื่อความสอดคล้องกัน การศึกษาทางซีรั่มทางซีรั่มระยะยาวที่ติดตามภูมิคุ้มกันของผู้ป่วยในช่วงเวลาที่ขยายออกไปจะต้องปรับปรุงการประมาณการเหล่านี้ของระยะเวลาของภูมิคุ้มกัน 36

ความแตกต่างของอายุในรายละเอียดทางระบาดวิทยา

เพื่อแสดงความแตกต่างทางอายุในวงกว้างในโปรไฟล์ทางระบาดวิทยาของ COVID 19 เราจึงแนะนำช่วงอายุสี่ช่วง: เด็ก (C, 0–18 ปี), คนหนุ่มสาว (Y, C, 18–30 ปี), ผู้ใหญ่ (A, 30–70 ปี) และผู้สูงอายุ (E, (>70) ปี) ขอบเขตระหว่างกลุ่มเหล่านี้ถูกกำหนดให้สอดคล้องกับข้อมูลทางระบาดวิทยา แต่ได้รับการปรับให้เข้ากับรูปแบบการเคลื่อนไหวทางสังคมด้วย (เช่น โรงเรียน K-12 กับการเข้าเรียนในวิทยาลัย) ทั้งสี่กลุ่มนี้จะไม่เพียงแต่มีพารามิเตอร์การติดเชื้อ/การฟื้นตัว/การเสียชีวิตที่แตกต่างกันเท่านั้น (สะท้อนถึงโปรไฟล์ทางคลินิกที่แตกต่างกัน) แต่ยังแสดงปฏิสัมพันธ์ทางสังคมที่แตกต่างกันด้วย (ตามความรู้เกี่ยวกับความแตกต่างตามอายุในพฤติกรรมทางสังคม และการเปลี่ยนแปลงการตอบสนองเหล่านี้อย่างไร ให้เกิดการระบาด)

ข้อมูลจากเยอรมนีแสดงให้เห็นว่าในเด็กที่มีอาการ ปริมาณไวรัส SARS-CoV-2 ในระยะเริ่มต้นที่วินิจฉัยนั้นเทียบได้กับในผู้ใหญ่อายุ 19 ปี และเด็กที่มีอาการทุกวัยนั้นหลั่งเชื้อไวรัสเมื่อเจ็บป่วยเฉียบพลันระยะแรก 37 อย่างไรก็ตาม เปอร์เซ็นต์ของการปรากฏตัวหลังการสัมผัสและความรุนแรงของการติดเชื้อนั้นแตกต่างกันอย่างมากในกลุ่มอายุต่างๆ การศึกษาทบทวนที่ใช้ข้อมูลกรณีเฉพาะเจาะจงอายุจากสถานที่ต่างๆ 32 แห่ง ใน 6 ประเทศ ระบุความแตกต่างของอัตราการติดเชื้อและความรุนแรงของอาการตามอายุ และความอ่อนแอโดยประมาณและสัดส่วนทางคลินิกตามอายุ 38 ปี การศึกษาพบว่ามีความอ่อนไหวต่อการติดเชื้อ SARS-CoV-2 ที่แตกต่างกันตามอายุ โดยที่เด็กจะมีความไวต่อการติดเชื้อน้อยกว่าผู้ใหญ่เมื่อสัมผัสกับผู้ติดเชื้อ และยังไม่พบอาการหรืออาการแสดงแบบไม่แสดงอาการ (ไม่รุนแรงและไม่ได้รายงาน) จากการติดเชื้อบ่อยกว่า กว่าผู้ใหญ่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การติดเชื้อ 21% (12–31%) ในผู้ที่มีอายุ 10 ถึง 19 ปีส่งผลให้เกิดกรณีทางคลินิก ซึ่งเพิ่มขึ้นเป็น 69% (57–82%) ในผู้ใหญ่ที่มีอายุมากกว่า 70 ปี โปรไฟล์ความอ่อนแอเฉพาะอายุบ่งชี้ว่าความไวต่อการติดเชื้อสัมพัทธ์เท่ากับ 0.40 (0.25–0.57) ในผู้ที่มีอายุ 0 ถึง 9 ปี เทียบกับ 0.88 (0.70–0.99) ในผู้ที่มีอายุ 60 ถึง 69 ปี เราใช้การศึกษานี้เพื่อแจ้งแบบจำลองของเราเมื่อเลือกสัดส่วนที่ไม่มีอาการในแต่ละช่วงอายุ

การพยากรณ์โรคในระยะยาวสำหรับผู้ป่วยโควิด 19 ยังแตกต่างกันอย่างมาก โดยอัตราการเสียชีวิตเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องเมื่ออายุ 9 ปี (น่าจะเกิดจากปัจจัยต่างๆ เช่น การตอบสนองทางภูมิคุ้มกันที่แปรผันตามอายุ การมีอยู่ของโรคร่วม ฯลฯ) อัตราการเสียชีวิตที่บันทึกไว้ในช่วงระยะเวลาของโควิด 19 ก็แปรผันตามเวลา และตามภูมิภาคทางภูมิศาสตร์ 39 (เช่น ระหว่าง 1–6% ในสหรัฐอเมริกา, 6–15% ในอิตาลี) เมื่อแยกตามอายุ ข้อมูลทั่วโลกบ่งชี้ว่าอัตราการเสียชีวิตน้อยมากที่ 0–0.2% ในเด็กอายุ 0–18 ปี อัตราเพิ่มขึ้นเล็กน้อย 0.2–0.3% ในคนหนุ่มสาวอายุ 18–30 ปี อัตราประมาณระหว่าง 0.3– 3.6% ในผู้ใหญ่อายุ 30–70 ปี และอัตราที่สูงขึ้นอย่างมีนัยสำคัญซึ่งสูงถึง 6-20% ในผู้สูงอายุที่มีอายุมากกว่า 70 ปี 39 เราใช้ข้อมูลนี้เพื่อแจ้งแบบจำลองของเราเมื่อเลือกอัตราการตายเทียบกับอัตราการฟื้นตัวสำหรับแต่ละช่วงอายุ

สุดท้าย ความแตกต่างในรูปแบบการติดต่อและสุขอนามัยของบุคคลในวัยต่างๆ ก็สามารถทำให้เกิดความแตกต่างในการแพร่เชื้อ และต่อมาในจำนวนการติดเชื้อภายในแต่ละกลุ่มอายุ 38 รูปแบบการเคลื่อนไหวที่โมเดลของเราคิดไว้ ร่วมกับความแตกต่างตามอายุ มีการอธิบายโดยละเอียดในหัวข้อต่อไปนี้

การประกอบพลวัตช่องอายุ

แบบจำลองการแบ่งส่วนพื้นฐานของเราในกลุ่มประชากรของ NS บุคคลจะเกี่ยวข้องกับเจ็ดช่อง (X in ) . จากรุ่นดั้งเดิม เราก็ยังคงใช้ของเดิม ท่าน ช่อง นอกจากนี้เรายังแนะนำ (ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น) สี่ช่องใหม่ เพื่อปรับให้เข้ากับลักษณะเฉพาะของระบาดวิทยาของ COVID 19: หลี่ หมายถึง สัดส่วนของปัจเจกบุคคล (ที่ติดเชื้อไวรัสแต่ยังไม่ติดต่อ) NS หมายถึง ส่วนของบุคคลที่ไม่มีอาการ (ผู้ที่ติดเชื้อไวรัส อาจแพร่เชื้อให้ผู้อื่นได้แต่จะไม่แสดงอาการใดๆ) NS หมายถึง บุคคลที่ไม่มีอาการ (ผู้ที่ติดเชื้อไวรัส สามารถแพร่เชื้อสู่ผู้อื่นได้ และยังไม่มีอาการ แต่จะมีอาการในไม่ช้า) NS แสดงถึงส่วนผู้เสียชีวิต ดังนั้นแต่ละกลุ่มอายุ (age in < C,Y,A,E >) จึงมีลักษณะเป็นช่อง (S^) , (L^) , (A^) , (P^) , (ฉัน^) , (R^) , (D^) . จากนั้น เราสามารถเขียนระบบต่อไปนี้ อธิบายการมีเพศสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มและกลุ่มอายุ และดำเนินการตามบทบัญญัติที่อธิบายข้างต้น:

อัตราการสัมผัส (eta) ขึ้นอยู่กับอายุ โดยพิจารณาจากความแตกต่างของพฤติกรรมในวัยที่อาจมีความเสี่ยงหรืออนุรักษ์นิยมมากกว่า (เช่น เด็กสัมผัสใบหน้าบ่อยขึ้นและอาจพบว่าการเว้นระยะห่างทางสังคมมีความท้าทายมากกว่าผู้ใหญ่ ผู้ใหญ่วัยหนุ่มสาวมีปฏิสัมพันธ์ทางสังคมมากกว่า กว่าผู้สูงอายุ) ในขั้นต่อไปของการสร้างแบบจำลอง เมื่อผู้คนได้รับอนุญาตให้เข้าชมสถานที่ต่างๆ อัตรา (eta) จะขึ้นอยู่กับตำแหน่งด้วย เนื่องจากสถานที่ต่างๆ จะปฏิบัติตามระเบียบการด้านสุขอนามัยที่แตกต่างกัน และรูปแบบทางสังคมที่แตกต่างกัน ปัจจัยสัดส่วนที่สองในระยะการติดเชื้อเปลี่ยนเป็น (Q_I Sigma _I + Q_A Sigma _L + Q_PSigma _P+Q_ASigma _A) โดยที่ (Sigma _I = sum _ ฉัน^) , (Sigma _L = sum _ แอล^) , (Sigma _P = sum _ ป^) และ (Sigma _A = sum _ อา^) . เนื่องจากบุคคลในกลุ่มอายุเฉพาะเจาะจงสัมผัสกับคนที่ติดเชื้อ แฝง ไม่มีอาการ และไม่มีอาการจากทั้งสี่กลุ่มอายุที่มีปฏิสัมพันธ์ในสถานที่เดียว

บุคคลที่มีสุขภาพดีออกจาก NS ช่องเมื่อสัมผัสกับไวรัสและเข้าสู่ช่องเวลาแฝง หลี่ในอัตราที่เท่ากับพารามิเตอร์การส่งสัญญาณ (eta) คูณด้วย “ความเสี่ยงจากการสัมผัส” ความเสี่ยงคำนวณจากผลรวมชั่งน้ำหนักของสัดส่วนของสารแพร่กระจายในประชากร โดยปัจจัยการปรับขนาดที่มากขึ้นกำหนดให้กับช่องที่มีอาการและการติดเชื้อ ( (Q_P) และ (Q_I) ตามลำดับ และปัจจัยการปรับขนาดที่ต่ำกว่า ( Q_A) ให้กับช่อง Latent และ Asymptomatic ตามเอกสารปัจจุบันเกี่ยวกับไดนามิกของการส่งสัญญาณ) บุคคลแฝงออกจากห้องในอัตราที่สะท้อนถึงจำนวน (lambda _1) วันที่คาดว่าไวรัสจะเริ่มการขับออกอย่างเด่นชัดมากขึ้น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากไม่ใช่ทุกคนจะมีอาการมากขึ้น สัดส่วนที่ขึ้นกับอายุ (alpha (อายุ)) ของบุคคลแฝงจะย้ายเข้าไปอยู่ในช่องที่ไม่มีอาการ โดยเหลือสัดส่วนที่เหลือ (1-alpha (อายุ)) เพื่อเข้าร่วมช่อง Presymptomatic เกียร์สูง บุคคลที่ไม่มีอาการจะฟื้นตัวเป็น NS ช่องโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงใด ๆ เพิ่มเติม ในอัตราที่สะท้อนถึงเวลา ( heta) โดยประมาณสำหรับการไหลของไวรัสที่จะบรรเทาลง ในขณะเดียวกัน บุคคลที่มีอาการแสดงจะพัฒนาอาการและเข้าสู่ช่องแพร่เชื้อ ในอัตราผกผันกับเวลา (lambda _2) ที่ประมาณไว้สำหรับระยะก่อนแสดงอาการ บุคคลที่มีอาการออกจากช่องในอัตราขึ้นอยู่กับเวลาฟื้นตัว (gamma) พวกเขาอาจฟื้นตัว (พร้อมภูมิคุ้มกันที่อาจเกิดขึ้น) หรือเสียชีวิต ในแบบจำลองของเรา พารามิเตอร์เฉพาะอายุ NS(อายุ) คิดเป็นเปอร์เซ็นต์การตาย เศษส่วน ( ho) ของผู้รอดชีวิตฟื้นตัวโดยมีภูมิคุ้มกันจำกัด ดังนั้น พวกเขาจึงยังคงอยู่ในห้องที่กู้คืน ก่อนที่จะกลับเข้าร่วมช่องอ่อนแออีกครั้งในอัตราที่สะท้อนระยะเวลาโดยประมาณของภูมิคุ้มกัน (varphi) ช่วงพารามิเตอร์เชิงประจักษ์ แหล่งที่มาที่สอดคล้องกัน และค่าที่ใช้ในแบบจำลองของเราแสดงอยู่ในตารางที่ 1

ผสมผสานพลวัตทางสังคม

สุดท้าย เราขยายโมเดลเพื่อรวมไดนามิกแบบแบ่งเป็นส่วนๆ ในแต่ละวัน ซึ่งช่วยให้ผู้คนสามารถเคลื่อนย้ายเฉพาะอายุไปยังสถานที่ต่างๆ ที่มีอัตราการสัมผัสที่แตกต่างกันได้ เพื่อแก้ไขความคิดของเรา เราศึกษาชุมชน "เมืองวิทยาลัย" เล็กๆ ซึ่งรวมถึงทุกกลุ่มอายุในสัดส่วนที่เท่ากัน (1,000 คน) ซึ่งการปนเปื้อนเริ่มต้นโดยผู้ใหญ่สองคนที่ติดเชื้อ การเดินทางในแต่ละวันได้รับการออกแบบเพื่อสะท้อนถึงโปรไฟล์นี้ และแบบจำลองของเราได้รับการออกแบบมาโดยเฉพาะเพื่อวิเคราะห์ (1) ประสิทธิภาพของมาตรการบรรเทาการแพร่ระบาด ซึ่งได้รับมอบอำนาจให้ชุมชนดังกล่าวในขณะที่การระบาดกำลังพัฒนา และ (2) ระยะเวลาและเงื่อนไขที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการเปิดใหม่ ซึ่ง เป็นหนึ่งในคำถามเปิดที่สำคัญในทุกชุมชน ตลอดจนในเวทีโลก โมเดลนี้สามารถปรับเปลี่ยนได้อย่างง่ายดายเพื่อสะท้อนถึงชุมชนที่มีโปรไฟล์ทางสังคมที่แตกต่างกัน งานในอนาคตของเรามุ่งเน้นไปที่การขยายแบบจำลองไปยังชุมชนที่มีคู่กันหลายแห่ง และมีเป้าหมายเพื่อทำความเข้าใจว่ารูปแบบพฤติกรรมของคนๆ หนึ่งจะส่งผลต่อคนอื่นๆ ได้อย่างไร

ในรูปแบบปัจจุบันของเรา ในแต่ละวัน ผู้คนเดินทางจากบ้านไปยังหนึ่งในเจ็ดสถานที่ต่อไปนี้: สำนักงานแพทย์ (เช่น แพทย์ โรงพยาบาล) ร้านค้า (อาหาร ร้านขายยา) โบสถ์ (การชุมนุมทางศาสนา) มหาวิทยาลัย (การศึกษาสำหรับคนหนุ่มสาว) โรงเรียน (สถานศึกษาสำหรับเด็ก) สวนสาธารณะ (สถานบันเทิงสำหรับเด็ก) บาร์/ร้านอาหาร (สถานบันเทิงสำหรับผู้ใหญ่) ตารางที่ 2 ระบุค่าพื้นฐานของอัตราการสัมผัส (eta) สำหรับแต่ละปลายทางและกลุ่มอายุ ทำการประมาณการอย่างมีการศึกษาเกี่ยวกับผลกระทบของข้อจำกัดด้านสุขอนามัยและปฏิสัมพันธ์ทางสังคมที่เฉพาะเจาะจงในแต่ละสถานที่

เพื่อติดตามการเปลี่ยนแปลงของวันไปและกลับจากสถานที่ต่างๆ เราใช้อาร์เรย์ (7 imes 7 imes 4) NS, เพื่อให้แต่ละรายการ NS(สถานที่, NS, อายุ) ระบุว่าส่วนใดของชุมชนเดินทางไปแต่ละสถานที่ สถานที่, จากแต่ละช่อง SEIR NS, สำหรับแต่ละกลุ่มอายุ อายุ. รายการเหล่านี้ขึ้นอยู่กับเวลา ซึ่งช่วยให้เราตรวจสอบไม่เพียงแต่ขอบเขต แต่ยังรวมถึงจังหวะเวลาของการกักกันและมาตรการกักกัน

เพื่อความง่าย ในการทำซ้ำครั้งแรกของแบบจำลองนี้ เราคิดว่าบุคคลอาจเดินทางไปที่ต่างๆ ได้ไม่เกินหนึ่งแห่งในแต่ละวัน และใช้เวลาอยู่ที่นั่นตามระยะเวลาที่กำหนด ซึ่งเท่ากัน (6 ชั่วโมง) ในสถานที่ต่างๆ ช่องแพร่ระบาด และกลุ่มอายุ ไดนามิกของ SEIR ที่จุดหมายปลายทางแต่ละแห่งนั้นแตกต่างกัน และแตกต่างจากไดนามิกที่สอดคล้องกันที่บ้าน (โดยที่อัตราการสัมผัสจะน้อยกว่าที่ปลายทางทั้งหมด)

In our mathematical simulation, we dispatch theoretical people to all destinations in the morning, according to the day’s mobility array (Appendix A, Tables 3, 4, 5, 6), which accounts for the fraction of each compartment and age group in the community that chooses to visit that particular location during the specified day. To reflect the fact that limitations in testing and contact tracing may allow virtually unrestricted mobility in absence of specific symptoms, we assumed similar mobility of the อี, NS และ NS compartments to that of the NS compartment. Mobility from the Infectious compartment is drastically reduced (except traffic for health care), and subsequently restored after recovery. Also for simplicity, the mobility array is consistent throughout six days of the week. Every seventh day (Sunday), the primary activity is attendance of spiritual or social gatherings (broadly labeled in our destination vector as “church”). We study the dynamics and effects of such periodic large gatherings separately, since they have been identified by field studies as a critical contribution to the overall epidemic dynamics.

At each destination, the coupled compartmental dynamics is applied for 6 h. Compartmental dynamics with home parameters is applied to the population staying home, for an equal amount of time. Upon return from the destinations, home dynamics is applied for the rest of the day (18 h). The code is implemented in the Matlab package, using an Euler method with step-size (h = 15) min, tracking the progress of the outbreak within the community for 500 days 41 , which is a rough estimate of the time needed for clinical prevention and treatment development. This observation window can be adapted to incorporate future changes to this clinical timeline.

Each destination สถานที่ has four age-specific exposure rate parameters (eta (place,age)) , specified for our model in Table 2. That is because the ability to maintain hygiene and social distance varies between places (e.g., doctor versus bar), and between ages (with children, for example, being less likely to abide by the strict rules of either hygiene or distancing). Once at home, the parameter rate assumes a smaller value (eta _0) . One significant limitation of this approach is that it cannot capture specifics of the home dynamics, such as household structure (and the higher likelihood of infection of other household members from an infected person). This will be further discussed in the Limitations section, and will be the subject of future work.

We will study the effects of practicing social distancing at specific locations and in a residential setting, by varying the value of the respective parameter (eta) . We will also study the effects of imposing early and late shutdowns of various destinations, by altering the mobility array. In this project, we investigate the schedule of measures that was government mandated in New York State communities (closing schools and campuses, then restaurants and bars, then churches, etc). We then investigate the effects of different opening timelines, and the differential consequences of relaxing the restrictions on mobility versus lightening the social distancing measures.


Electronic supplementary material is available online at https://doi.org/10.6084/m9.figshare.c.5421425.

เผยแพร่โดย Royal Society ภายใต้เงื่อนไขของ Creative Commons Attribution License http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ ซึ่งอนุญาตให้ใช้โดยไม่จำกัด โดยต้องให้เครดิตผู้เขียนต้นฉบับและแหล่งที่มา

อ้างอิง

Nicola M, Alsafi Z, Sohrabi C, Kerwan A, Al-Jabir A, Iosifidis C, Agha M, Agha R

. 2020 The socio-economic implications of the coronavirus pandemic (COVID-19): a review . อินเตอร์ เจ. เซอร์. 78, 185-193. (doi:10.1016/j.ijsu.2020.04.018) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

. 2020 Mental health before and during the COVID-19 pandemic: a longitudinal probability sample survey of the UK population . Lancet Psychiatry 7, 883-892. (doi:10.1016/S2215-0366(20)30308-4) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

. 2020 Mental health and the Covid-19 pandemic . น. อังกฤษ. เจ เมด 383, 510-512. (doi:10.1056/NEJMp2008017) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

2020 Modelling lockdown and exit strategies for COVID-19 in Singapore . Lancet Region Health. ตะวันตก. Pac. 1, e100004. (doi:10.1016/j.lanwpc.2020.100004.) Crossref, Google Scholar

. 2020 Coronavirus: earlier Scottish lockdown ‘could have prevented 2,000 deaths'. BBC News. See https://www.bbc.co.uk/news/uk-scotland-52617895 (updated 14 June 2020, accessed 10 August 2020). Google Scholar

Islam N, Sharp SJ, Chowell G, Shabnam S, Kawachi I, Lacey B, Massaro JM, D'Agostino RB, White M

. 2020 Physical distancing interventions and incidence of coronavirus disease 2019: natural experiment in 149 countries . BMJ 370, m2743. (doi:10.1136/bmj.m2743) Crossref, PubMed, Google Scholar

Di Lauro F, IZ Kiss, JC Miller

. 2021 Optimal timing of one-shot interventions for epidemic control . ป.ล. คอมพิวเตอร์ ไบโอล.17, e1008763. (doi:10.1371/journal.pcbi.1008763) Google Scholar

DH Morris, FW Rossine, JB Plotkin, Levin SA.

2021 Optimal, near-optimal, and robust epidemic control . คอมมูนิตี้ สรีรวิทยา4, 78. (doi:/10.1038/s42005-021-00570-y) Google Scholar

. 2020 On fast multi-shot COVID-19 interventions for post lock-down mitigation. arXiv, 2003.09930. See https://arxiv.org/abs/2003.09930v5. Google Scholar

Rawson T, Brewer T, Veltcheva D, Huntingford C, Bonsall MB

. 2020 How and when to end the COVID-19 lockdown: an optimization approach . ด้านหน้า. สาธารณสุข 8, 262. (doi:10.3389/fpubh.2020.00262) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

JL Gevertz, JM Greene, CH Sanchez-Tapia, Sontag ED.

2021 A novel COVID-19 epidemiological model with explicit susceptible and asymptomatic isolation compartments reveals unexpected consequences of timing social distancing . เจ. ทฤษฎี. ไบโอล.510, 110539. (doi:10.1016/j.jtbi.2020.110539) Google Scholar

Miclo L, Spiro D, Weibull J

. 2020 Optimal epidemic suppression under an ICU constraint. arXiv, 2005.01327. Google Scholar

. 1927 A contribution to the mathematical theory of epidemics . Proc. อาร์ ซอค ลอนดอน. NS 115, 700-721. (doi:10.1098/rspa.1927.0118) Link, Google Scholar

2020 Association of public health interventions with the epidemiology of the COVID-19 outbreak in Wuhan, China . จามา 323, 1915-1923. (doi:10.1001/jama.2020.6130) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

. 2020 Challenges in control of COVID-19: short doubling time and long delay to effect of interventions. arXiv, 2020.04.12.20059972. (doi:10.1101/2020.04.12.20059972) Google Scholar

Petersen E, Koopmans M, Go U, Hamer DH, Petrosillo N, Castelli F, Storgaard M, Al Khalili S, Simonsen L

. 2020 Comparing SARS-CoV-2 with SARS-CoV and influenza pandemics . Lancet Infect. อ. 20, e238-e244. (doi:10.1016/S1473-3099(20)30484-9) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

Zhou L, Liu JM, Dong XP, McGoogan JM, Wu ZY

. 2020 COVID-19 seeding time and doubling time model: an early epidemic risk assessment tool . ติดเชื้อ อ. ความยากจน 9, 76. (doi:10.1186/s40249-020-00685-4) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

2020 Estimating the effects of non-pharmaceutical interventions on COVID-19 in Europe . ธรรมชาติ 584, 257-261. (doi:10.1038/s41586-020-2405-7) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

. 1991 Infectious diseases of humans: dynamics and control . New York, NY : Oxford University Press . Google Scholar

Davies NG, Kucharski AJ, Eggo RM, Gimma A, Edmunds WJ

. 2020 Effects of non-pharmaceutical interventions on COVID-19 cases, deaths, and demand for hospital services in the UK: a modelling study . Lancet Public Health 5, e375-e385. (doi:10.1016/S2468-2667(20)30133-X) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

. 2020 Report 13: Estimating the number of infections and the impact of non-pharmaceutical interventions on COVID-19 in 11 European countries. London, UK: Imperial College London. Google Scholar

Anderson RM, Heesterbeek H, Klinkenberg D, Hollingsworth TD

. 2020 How will country-based mitigation measures influence the course of the COVID-19 epidemic? มีดหมอ 395, 931-934. (doi:10.1016/S0140-6736(20)30567-5) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

Soetaert KE, Petzoldt T, Setzer RW

. 2010 Solving differential equations in R: package deSolve . J. Stat. Softw. 33, 1–25. (doi:10.18637/jss.v033.i09) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

. 2020 Covid-19 and the stiff upper lip—the pandemic response in the United Kingdom . น. อังกฤษ. เจ เมด 382, e31. (doi:10.1056/NEJMp2005755) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

2020 The COVID-19 pandemic: a new challenge for syndromic surveillance . Epidemiol. ติดเชื้อ 148, e122. (doi:10.1017/S0950268820001314) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

Chang SL, Harding N, Zachreson C, Cliff OM, Prokopenko M

. 2020 Modelling transmission and control of the COVID-19 pandemic in Australia . แนท. คอมมูนิตี้ 11, 5770. (doi:10.1038/s41467-020-19393-6.) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

Baker MG, Wilson N, Anglemyer A

. 2020 Successful elimination of Covid-19 transmission in New Zealand . น. อังกฤษ. เจ เมด 383, e56. (doi:10.1056/NEJMc2025203) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

Ferretti L, Wymant C, Kendall M, Zhao L, Nurtay A, Abeler-Dorner L, Parker M, Bonsall D, Fraser C

. 2020 Quantifying SARS-CoV-2 transmission suggests epidemic control with digital contact tracing . ศาสตร์ 368, eabb6936. (doi:10.1126/science.abb6936) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

Lurie N, Saville M, Hatchett R, Halton J

. 2020 Developing Covid-19 vaccines at pandemic speed . น. อังกฤษ. เจ เมด 382, 1969-1973. (doi:10.1056/NEJMp2005630) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

Gomes MGM, Aguas R, Corder RM, King JG, Langwig KE, Souto-Maior C, Carneiro J, Ferreira MU, Penha-Goncalves C

. 2020 Individual variation in susceptibility or exposure to SARS-CoV-2 lowers the herd immunity threshold. medRxiv, 2020.04.27.20081893. (doi:10.1101/2020.04.27.20081893) Google Scholar

Britton T, Ball F, Trapman P

. 2020 A mathematical model reveals the influence of population heterogeneity on herd immunity to SARS-CoV-2 . ศาสตร์ 369, 846-849. (doi:10.1126/science.abc6810) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar

Davies NG, Klepac P, Liu Y, Prem K, Jit M

และคณะ 2020 Age-dependent effects in the transmission and control of COVID-19 epidemics . แนท. เมดิ. 26, 1205-1211. (doi:10.1038/s41591-020-0962-9) Crossref, PubMed, ISI, Google Scholar


การอภิปราย

Early epidemic forecasts consisting of the likely short-term trajectory of an unfolding outbreak can help guide the type and intensity of interventions including healthcare infrastructure needs for diagnosis, isolation of infectious individuals, and contact tracing activities [114]. However, our ability to generate disease forecasts using epidemic models during the initial epidemic phase is not only hindered by a lack of reliable epidemiological information and case incidence data, but also by existing gaps in our understanding of the mechanisms involved in the transmission dynamics across different pathogens and social contexts.

A better understanding of the signature features of epidemic outbreaks from real outbreak data and different mathematical modeling approaches could lead to substantial improvements in our ability to forecast epidemics using mathematical modeling. Recent findings have underscored the presence of a variety of early epidemic growth profiles ranging from sub-exponential to exponential growth dynamics across a number of epidemic outbreaks involving different infectious diseases such as pandemic influenza, smallpox, measles, HIV/AIDS and Ebola [5,7]. If early sub-exponential growth dynamics are driven by a spatially constrained contact structure, then transmission models relying on the mass-action mixing assumption tied to early exponential growth dynamics in the absence of interventions or behavior changes would not be supported. This motivates the need to better understand the mechanisms that give rise to slower epidemic growth profiles during the early transmission stages. For instance, the observation that the HIV/AIDS epidemic was spreading in a polynomial fashion rather than exponentially fast can be traced back to the 1980s [9,10]. While these observations were deemed important among experts at the time, developing the classic theory of infectious disease to accommodate the possibility of sub-exponential growth patterns has progressed slowly [5,7,10,24,105,107,108]. More recently, the 2014-15 Ebola epidemic in West Africa has reignited interest in better understanding the processes involved in shaping early sub-exponential growth transmission dynamics of infectious diseases at different spatial scales, their implications in the estimation of key epidemiological quantities, and the development of more accurate models to improve disease forecasting [5]. This review article aims to provide a broad overview of the mechanisms that have been hypothesized to be involved in shaping the early epidemic growth dynamics and to survey relevant results from different mathematical modeling approaches that are available to incorporate such processes in transmission models.

We have briefly reviewed approaches for modeling the spatial or structured spread of infectious diseases using metapopulation models and individual-based models. The analyses of early growth patterns stemming from transmission models can be facilitated by the use of the generalized-growth model which has been recently introduced to characterize profiles of early epidemic growth including sub-exponential and exponential epidemic growth [7]. In addition, both cross-coupled and mobility metapopulation models have proven very useful for generating important insights into how the structuring of human populations and their activities have influenced spatio-temporal patterns of infectious disease spread, and metapopulation or structured models that divide the population into groups can yield early exponential growth of case incidence when the local transmission dynamics are governed by mass-action mixing. Individual-level models provide the modeler with full control over the dynamic interactions of the individuals in the population, however. For instance, individual-based models based on static contact networks provide a way to incorporate explicit measures of clustering, which are known to play a role in slowing down the spread of disease [115]. Indeed, disease spread simulations indicate that a contact network dominated by local (nearest-neighbor) interactions can give rise to early polynomial growth after adding a very small fraction of long-range random links. However, the growth profile quickly approaches an exponential growth regime as the amount of global randomness is slowly increased.

Because disease transmission on “small world” models grounded on static contact networks predict rapid dissemination of disease in the presence of a relatively small fraction of long-range interactions[78], this highlights the potential role of dynamic rather than static contacts in the spread of disease. Indeed, disease-relevant contacts are not static, but dynamic as they change during the course of the day in response to changing perceived disease risk and local customs, and they are also affected by the actual course of individual illness whereby severe cases tend to be confined to specific social settings (e.g., households, hospitals), and hence, are less likely to initiate long-range interactions. The dynamic nature of the contact network implies that the overall population contact network is composed of a group of subnetworks of different sizes that change over time. In this dynamic context, the probability of disease spreading from one individual to another is not a fixed quantity, but depends on the chances that the individuals make a disease-relevant contact during the period of infectiousness of the infector. Therefore, the use of dynamic contact networks for modeling the spread of individual-level disease spread particularly for diseases that spread via close contact (e.g, Ebola, HIV/AIDS) provides the necessary flexibility to incorporate dynamic contact processes (e.g., contact-dependence on behavior, local customs, mobility, and disease status) that may give rise to specific early growth disease transmission patterns in the absence of other disease mitigating factors (e.g., reactive behavior changes, control interventions).

To illustrate the epidemic growth patterns stemming from individual-based models that incorporate more realistic social contact network structures and individual behavior, we analyzed early growth dynamics of disease incidence generated by the detailed Ebola transmission model of Merler et al. [28] and a less complex spatial (household-community) model developed by Kiskowski [26,27]. Interestingly, we found that the model by Merler et al. calibrated to the situation of Liberia yields sub-exponential growth patterns which are well-characterized using the generalized growth model while the spatial model by Kiskowski yields slightly faster growth profiles (although still sub-exponential). These observations suggest that incorporating dynamic contact networks into models of disease spread may be required for modeling more realistic early epidemic growth profiles, while models based on static networks are expected to quickly approach an exponential growth regime in the absence of susceptible depletion or mitigation mechanisms, with the incorporation of a relatively small amount of long-range random interactions even in the presence of substantial levels of clustering [78]. At the same time, our results also underscore substantial uncertainty captured in ensembles of stochastic epidemic realizations.