ข้อมูล

ทฤษฎีความโกลาหลและวัฏจักรประชากรของคาบคี่

ทฤษฎีความโกลาหลและวัฏจักรประชากรของคาบคี่


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

ฉันเพิ่งเริ่มอ่านเกี่ยวกับทฤษฎีความโกลาหล และได้เจอข้อความที่ว่า "ช่วงที่ 3 บ่งบอกถึงความโกลาหล"

คำถามของฉัน: ช่วงเวลาแปลก ๆ บ่งบอกถึงความโกลาหลหรือเพียง 3 หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้น จำนวนประชากรของจักจั่นที่วนรอบทุกๆ 17 ปีจะมีอยู่ได้อย่างไร?


พฤติกรรมที่โกลาหลที่คุณอ้างถึง (อย่างน้อยอย่างที่อธิบายไว้ในลิงก์ของคุณในความคิดเห็น) เป็นคุณสมบัติของสมการลอจิสติกเวอร์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งคุณจะได้รับการเปลี่ยนแปลงที่โกลาหลในอัตราการเติบโตที่สูงกว่า ~ 3.55 (ดูแผนที่ลอจิสติกส์) พฤติกรรมของสมการนี้ได้รับการอธิบายไว้ในบทความคลาสสิกโดย Robert May (1976) ในขณะที่คุณเพิ่มอัตราการเติบโต (NS ในลิงก์ของคุณ) จากอันที่คุณไปจากตัวดึงดูดที่มั่นคง (เข้าใกล้โดยตรงหรือโดยการบดบัง) ไปจนถึงพฤติกรรมการปั่นจักรยาน (ระหว่าง 2 ถึง 4 ถึง 8 รัฐเมื่ออัตราการเติบโตเพิ่มขึ้น) ไปจนถึงการเปลี่ยนแปลงที่วุ่นวาย ซึ่งแสดงในแผนภาพการแยกส่วนนี้

และเพื่อให้ชัดเจน ไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับระยะเวลา/ระยะเวลาของวงจรต่อตัว (ในแง่ของการมีปฏิสัมพันธ์ระหว่างสปีชีส์หรือลูปป้อนกลับที่ล้าหลัง) แต่เป็นคุณสมบัติของแบบจำลองและอัตราการเติบโตของประชากร คำกล่าวเกี่ยวกับช่วงที่ 3 ที่บ่งบอกถึงความโกลาหลอาจหมายถึงหน้าต่างสั้นๆ รอบ r ~3.83 ($1+sqrt{8})$ ที่ซึ่งคุณวนไปมาระหว่างสามค่า และที่ค่าที่สูงกว่านี้ คุณจะพบว่ามีพฤติกรรมที่วุ่นวายเท่านั้น (ซึ่งคุณได้รับ ด้วยค่าที่ต่ำกว่าด้วย)

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป: ตอนนี้ฉันเข้าใจแล้วว่าคำสั่ง "ระยะที่ 3 หมายถึง ความโกลาหล" มาจากกระดาษทฤษฎีชื่อเดียวกัน (Li & Yorke, 1975) บทความนี้พิสูจน์ว่าแบบจำลองมิติเดียวทั้งหมด (ไม่ใช่แค่สมการข้างต้น) ที่มีคาบ 3 รอบจะแสดงพฤติกรรมที่วุ่นวายเช่นกัน ข้อพิสูจน์นี้คือ กรณีพิเศษของทฤษฎีบท Sharkovsky ซึ่งเก่ากว่าแต่ Li & Yorke ไม่รู้จักในขณะนั้น

นอกจากนี้ยังมีคำถามที่ MathSE เกี่ยวข้องกับปัญหาเดียวกัน และคำตอบบางข้อก็เชื่อมโยงกับแหล่งข้อมูลที่เป็นประโยชน์:
https://math.stackexchange.com/questions/2901/period-of-3-implies-chaos


ทำความเข้าใจกลไกของการซิงโครไนซ์ที่ดูเหมือนวุ่นวายในต้นไม้

กลไกการซิงโครไนซ์โดยการผสมเกสร เครดิต: Kenshi Sakai, TUAT

การซิงโครไนซ์การผลิตเมล็ดพันธุ์ด้วยต้นไม้ได้รับความสนใจเนื่องจากความสำคัญในด้านการเกษตร ป่าไม้ และการจัดการระบบนิเวศ ตัวอย่างเช่น ต้นโอ๊กที่ร่วงหล่นจากต้นโอ๊กเป็นแหล่งอาหารที่สำคัญสำหรับสัตว์ป่า ในขณะที่พืชผล เช่น ส้มและถั่วพิสตาชิโอมีส่วนสำคัญต่อโภชนาการของมนุษย์และต่อเศรษฐกิจ ทั้งต้นโอ๊กและต้นส้มแสดงการซิงโครไนซ์ของการผลิตเมล็ด แต่วัฏจักรก็ต่างกัน โดยต้นโอ๊กแสดงการซิงโครไนซ์ของเมล็ดที่ไม่สม่ำเสมอ ในขณะที่ส้มแสดงวัฏจักรสองปีที่แตกต่างกันอย่างชัดเจน ซึ่งเรียกว่าการเคลื่อนตัวแบบอื่น

การทำความเข้าใจเกี่ยวกับจังหวะเวลาและกลไกที่นำไปสู่การซิงโครไนซ์ Seeding สามารถเป็นเครื่องมือการจัดการที่มีประโยชน์ ทีมนักวิทยาศาสตร์ที่นำโดยมหาวิทยาลัยเกษตรและเทคโนโลยีแห่งโตเกียว (TUAT) ได้พัฒนาวิธีการที่สามารถนำมาใช้เพื่อสร้างแบบจำลองพฤติกรรมการซิงโครไนซ์ที่หลากหลายซึ่งแสดงโดยต้นไม้ชนิดต่างๆ โดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์ควบคุม ผลการวิจัยของพวกเขาเผยแพร่เมื่อวันที่ 30 ตุลาคม 2019 ใน รายงานทางวิทยาศาสตร์.

สำหรับการศึกษานี้ ผู้เขียนได้ตรวจสอบการซิงโครไนซ์ระยะเวลา 3 (รอบ 3 ปี) ของประชากร Zelkova serrata สองกลุ่มที่แตกต่างกันเชิงพื้นที่ ซึ่งเป็นไม้ประดับยอดนิยมที่มีถิ่นกำเนิดในญี่ปุ่น เกาหลี จีนตะวันออก และไต้หวัน ซึ่งใช้ในบอนไซด้วย

ความไม่ลงรอยกันในตัวเอง (ที่เรียกว่าการผสมเกสรข้าม) ในไม้ยืนต้นจะซิงโครไนซ์โดยกลไกที่แสดงในรูปที่ 1 ในฤดูใบไม้ร่วงแรก ต้นไม้ A จะไม่ออกผล และต้นไม้อื่นๆ ทั้งหมดจะออกผล ในปีถัดมา ต้นไม้อื่น ๆ จะไม่ออกดอกเป็นเวลาหนึ่งปีหรือสองสามปีพัก ต้นไม้ A บาน แต่เนื่องจากต้นไม้อื่นไม่บาน ต้นไม้ A จึงไม่สามารถออกผลได้ ต้นไม้ A จึงนำทรัพยากรที่สะสมมาเพียงพอและผลิบานในปีหน้าพร้อมกับต้นไม้อื่น การซิงโครไนซ์เสร็จสมบูรณ์ในประชากร นี่คือแบบจำลองงบประมาณทรัพยากร (RBM) ของอิซากิ ซึ่งเป็นแบบจำลองมาตรฐานสำหรับการกระโดงไม้ยืนต้น

"เราพบว่าประชากรสองกลุ่มของ Zelkova serrata ที่อยู่ห่างออกไป 20 กิโลเมตร ซึ่งเป็นประชากรที่อยู่ด้านหน้าอาคารศาลาว่าการกรุงโตเกียวในเขตชินจูกุและอีกแห่งหนึ่งในเมือง Fuchu ได้รับการประสานกันอย่างสมบูรณ์ใน 'วัฏจักร 3 ปี'" Kenshi Sakai กล่าว ศาสตราจารย์ภาควิชาวิศวกรรมสิ่งแวดล้อมและการเกษตร TUAT ประเทศญี่ปุ่น และผู้เขียนนำการศึกษานี้

ต้นไม้เซลโคว่าห่างกัน 20 กิโลเมตรแสดงพฤติกรรมที่สอดคล้องอย่างสมบูรณ์ในระยะเวลาสามปี เครดิต: Kenshi Sakai, TUAT

"ผลการวิจัยบ่งชี้ว่าทฤษฎีบท Li-Yorke ที่มีชื่อเสียงที่สุด 'ช่วงเวลา 3 นัยถึงความโกลาหล' ซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎีความโกลาหล ถือเป็นความจริงในสายพันธุ์พืชในโลกแห่งความเป็นจริง" ซาไกกล่าว

ทฤษฎีความโกลาหลเป็นสาขาย่อยของคณิตศาสตร์ที่เน้นพฤติกรรมของระบบไดนามิกที่ซับซ้อนซึ่งไวต่อสภาวะเริ่มต้นอย่างมาก ความแตกต่างเล็กน้อยในเงื่อนไขเริ่มต้นสามารถมีอิทธิพลอย่างมากต่อผลลัพธ์ของสถานะภายหลังในระบบไดนามิกเหล่านี้ ความโกลาหลพบได้ทุกที่ในธรรมชาติ แต่แทนที่จะเกิดความโกลาหลแบบสุ่มตามที่ปรากฏ ระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่ซับซ้อนเหล่านี้ประกอบด้วยรูปแบบและเศษส่วนพื้นฐานที่มีโครงสร้างมากกว่าที่เห็น พฤติกรรมที่ดูเหมือนวุ่นวายสามารถวิเคราะห์ได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และเทคนิคการวิเคราะห์ตามทฤษฎีความโกลาหล ซึ่งมีการใช้งานอย่างแพร่หลายในสาขาวิชาวิทยาศาสตร์ที่หลากหลาย รวมถึงวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและสิ่งแวดล้อม

บางครั้งระบบที่วุ่นวายสองระบบอาจมีวิวัฒนาการแบบซิงโครไนซ์ ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าการซิงโครไนซ์ของความโกลาหล การซิงโครไนซ์เฟสเกิดขึ้นเมื่อระบบที่สับสนวุ่นวายสองระบบหรือมากกว่านั้นสั่นในลำดับซ้ำ ๆ โดยรักษาความแตกต่างของเฟส ตัวอย่างเช่น รูปคลื่นสองรูปของความถี่เดียวกันที่สั่นไปที่มุมเฟสเดียวกันในแต่ละรอบ ในกรณีนี้ ตามที่ผู้เขียนระบุว่า การซิงโครไนซ์เชิงพื้นที่ระยะไกลที่สังเกตพบนั้นหมายถึงการมีเพศสัมพันธ์ของละอองเกสรทั่วโลกที่เกิดขึ้นในระยะทาง 20 กิโลเมตรขึ้นไป

กลไกการสร้างรอบระยะเวลา-3 เครดิต: Kenshi Sakai, TUAT

"ผลการวิจัยยังชี้ให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ที่ควบคุมการซิงโครไนซ์ของ Zelkova serrata นั้นเทียบเท่ากับคณิตศาสตร์ของวงจรสวิตชิ่งของตัวแปลง AC-DC" Sakai กล่าว "กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลลัพธ์บ่งบอกว่าคณิตศาสตร์ทั่วไปแฝงตัวอยู่เบื้องหลังหัวข้อการวิจัยที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง เช่น ฟิสิกส์ไม่เชิงเส้นและนิเวศวิทยาการอนุรักษ์" เขาอธิบาย พร้อมเสริมว่า "สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงพลังของทฤษฎีความโกลาหลและทฤษฎีการซิงโครไนซ์ในการอธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติให้ชัดเจน"

"วิธีการที่เสนอในการศึกษาครั้งนี้เป็นการปรับแต่งเพิ่มเติมของวิธีการแสดงภาพปรากฏการณ์การซิงโครไนซ์ของละอองเกสรสารก่อภูมิแพ้ทั่วประเทศ และยังแสดงให้เห็นว่าเป็นวิธีที่มีเสถียรภาพที่สามารถนำไปใช้กับพืชชนิดต่างๆ แนวทางที่เสนอนี้คาดว่าจะเป็น ซึ่งเป็นวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการทำความเข้าใจกลไกการซิงโครไนซ์ของไม้ยืนต้นชนิดต่างๆ” ซาไกกล่าว "เรากำลังสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สามารถอธิบายการซิงโครไนซ์ประเภทต่างๆ ได้อย่างสม่ำเสมอ (การอยู่ร่วมกันแบบสองช่วง สามช่วง หลายช่วงเวลา ไม่สม่ำเสมอ ไม่สม่ำเสมอ) ที่แสดงในไม้ยืนต้น นอกจากนี้ยังอาจเป็นประโยชน์ในการทำนายพลวัตของประชากรในป่า สัตว์” เขากล่าว


บทนำ

ความหลากหลายอันน่าทึ่งของปรากฏการณ์ทางธรรมชาตินั้นถือว่าไม่เป็นระเบียบ ตามหลักแล้ว ระบบจะวุ่นวายหากมีขอบเขต (หมายความว่า เหมือนดาวเคราะห์ที่โคจรรอบดาวฤกษ์ พลวัตของมันอยู่ในวงโคจรแทนที่จะหลบหนีไปสู่อนันต์) และหากกำหนดได้ (หมายความว่า โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นเหมือนกันทุกประการ มันจะพัฒนาไปตามกาลเวลาในลักษณะเดียวกันเสมอ) และหากการรบกวนเล็กน้อยต่อระบบได้รับการขยายแบบทวีคูณ (อภิธานศัพท์ (ข้อมูลเพิ่มเติม) รูปที่ 1, 2) นักอุตุนิยมวิทยา เอ็ดเวิร์ด ลอเรนซ์ ได้บรรยายถึงปรากฏการณ์นี้ว่าเป็นเอฟเฟกต์ของผีเสื้อ ในระบบที่วุ่นวาย สิ่งเล็กๆ น้อยๆ ที่กระพือปีกของผีเสื้อก็สามารถทำให้เกิดผลกระทบได้มากเท่ากับพายุทอร์นาโด ปรากฏการณ์ที่เรียบง่ายตามแนวคิดนี้ กล่าวคือ ความอ่อนไหวอย่างสุดโต่งต่อการก่อกวนเล็กๆ เกิดขึ้นทุกที่ในธรรมชาติ ตั้งแต่การพองตัวของจักรวาล 1 ไปจนถึงวงโคจรของไฮเปอเรียน 2 ไปจนถึงปฏิกิริยาเคมี Belousov–Zhabotinskii 3 ไปจนถึงอิเล็กโทรไดนามิกของยักษ์ปลาหมึกที่ถูกกระตุ้น แอกซอน 4 . นี่เป็นเพียงตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ของสถานที่หลายแห่งในธรรมชาติที่พบความวุ่นวาย

การพิจารณาว่าระบบจำลองนั้นไม่เป็นระเบียบนั้นค่อนข้างง่ายหรือไม่: เพียงแค่เรียกใช้การจำลองสองสามครั้งด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นที่แตกต่างกันเล็กน้อย และดูว่าการจำลองต่างกันเร็วเพียงใด (รูปที่ 1) แต่ถ้าทั้งหมดที่มีอยู่คือการวัดว่าระบบจริงที่ไม่ได้จำลองมีวิวัฒนาการอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป เช่น ศักยภาพของเยื่อหุ้มเซลล์ประสาทเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป หรือความสว่างของดาวเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป จะระบุได้อย่างไร ถ้าข้อสังเกตเหล่านั้นมาจากระบบที่วุ่นวาย? หรือถ้าเป็นเพียงเสียงรบกวน? หรือหากระบบเป็นระยะๆ (อภิธานศัพท์ รูปที่ 1 เพิ่มเติม 2) หมายความว่า การก่อกวนเล็กน้อยไม่ได้ส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงของระบบอย่างนาฬิกา

แม้ว่าวิธีการที่เชื่อถือได้ในการตรวจจับความโกลาหลโดยใช้การบันทึกเชิงประจักษ์ควรเป็นส่วนสำคัญของกล่องเครื่องมือของนักวิทยาศาสตร์ เครื่องมือดังกล่าวอาจเป็นประโยชน์อย่างยิ่งต่อนักชีววิทยา เนื่องจากคาดว่าความโกลาหลจะมีบทบาทสำคัญในกระบวนการทางชีววิทยาที่หลากหลาย (ที่กล่าวว่า เราทราบดีว่าระบบทางชีววิทยาที่แท้จริงไม่สามารถวุ่นวายอย่างหมดจดในวิชาคณิตศาสตร์ที่เคร่งครัด เนื่องจากแน่นอนว่ามีเสียงรบกวนแบบไดนามิกอยู่บ้าง—ดูอภิธานศัพท์—แต่นักวิจัยคาดการณ์มานานแล้วว่ากระบวนการทางชีววิทยาหลายอย่างยังคงถูกกำหนดอย่างเด่นชัด แต่วุ่นวาย 5 ) ตัวอย่างเช่น หลังจากการคาดเดาเบื้องต้นเกี่ยวกับการมีอยู่ของความโกลาหลในอิเล็กโทรไดนามิกของทั้งเนื้อเยื่อหัวใจ 6 และเส้นประสาท 7 โรเบิร์ต พูล นักเขียนด้านวิทยาศาสตร์กล่าวในปี 1989 ว่า “ความโกลาหลอาจให้ความยืดหยุ่นที่ดีต่อหัวใจ สมอง และส่วนอื่นๆ ของ ร่างกาย." 8 แม้ว่าประเด็นนี้จะมีการถกเถียงกันอย่างเข้มข้นตั้งแต่ช่วงปี 1980 5,9 แต่ตั้งแต่นั้นมาได้มีการเสนอหน้าที่ทางชีววิทยาที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นสำหรับความโกลาหล ซึ่งรวมถึงศักยภาพในการประมวลผลข้อมูลของทั้งระบบประสาท 10 และเครือข่ายการกำกับดูแลยีน 11 ได้อย่างเต็มที่ การรับรู้ 12 ทำให้ระบบประสาทสามารถเปลี่ยนแปลงรูปแบบกิจกรรมต่างๆ ได้อย่างยืดหยุ่น 13 และเพิ่มอัตราการรอดชีวิตของเซลล์ด้วยการส่งเสริมการแสดงออกของยีนที่ต่างกัน 14 และมีเหตุผลที่ดีที่จะคาดหวังว่าความโกลาหลจะเกิดขึ้นในระบบทางชีววิทยา เนื่องจากการจำลองกระบวนการทางชีววิทยาจำนวนมาก 15 และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในระบบประสาท 9 แสดงหลักฐานที่ชัดเจนของความโกลาหล นอกจากนี้ พบหลักฐานที่ชัดเจนของความโกลาหลทางชีวภาพในกรณีจริงจำนวนน้อยมากที่สามารถเปรียบเทียบได้กับแบบจำลองทางทฤษฎีที่ดี ซึ่งรวมถึงแอกซอนยักษ์ปลาหมึกที่กระตุ้นเป็นระยะ 4 และเซลล์หัวใจ 16 ตลอดจนการปล่อยของ ออนชิเดียม เซลล์ประสาทเครื่องกระตุ้นหัวใจ 17 และ Nitella flexillis เซลล์ภายใน 18 . แต่นอกเหนือจากการจำลองและกรณีเชิงประจักษ์ที่เลือกสรรแล้ว ความพยายามส่วนใหญ่ในการทดสอบการมีอยู่หรือหน้าที่ที่คาดการณ์ไว้ของความโกลาหลทางชีววิทยาได้ลดลงเนื่องจากระดับของสัญญาณรบกวนการวัด (อภิธานศัพท์) ในการบันทึกทางชีววิทยาในระดับสูง ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นที่ทราบกันมานานแล้วว่านักชีววิทยาต้องการเครื่องมือป้องกันเสียงรบกวนเพื่อตรวจจับการมีอยู่ (หรือไม่มี) ของความโกลาหลในข้อมูลเชิงประจักษ์ที่มีเสียงดัง 9,15 .

นักวิจัยยังต้องการเครื่องมือที่สามารถตรวจจับระดับความโกลาหลที่แตกต่างกัน (อภิธานศัพท์) ในการบันทึกที่มีเสียงดัง ในระบบที่โกลาหลอย่างรุนแรง ในขั้นต้นระบบที่คล้ายกันจะระบุความแตกต่างได้เร็วกว่าในระบบที่วุ่นวายเล็กน้อย และระดับความโกลาหลที่แตกต่างกันดังกล่าวคาดว่าจะเกิดขึ้นในชีววิทยาโดยมีผลที่ตามมา ตัวอย่างเช่น แบบจำลองความเข้มข้นของเซลล์เม็ดเลือดขาวในมะเร็งเม็ดเลือดขาวชนิดเม็ดละเอียดเรื้อรังสามารถแสดงระดับความโกลาหลที่แตกต่างกันได้ และการรู้ว่าความเข้มข้นเหล่านั้นวุ่นวายเพียงใดในผู้ป่วยมะเร็งเม็ดเลือดขาวที่แท้จริงอาจมีนัยสำคัญต่อผลลัพธ์ด้านสุขภาพ 19 อีกตัวอย่างหนึ่ง แบบจำลองของเยื่อหุ้มสมองของมนุษย์คาดการณ์ว่าอิเล็กโทรไดนามิกของคอร์เทกซ์ในคอร์เทกซ์ระดับมหภาคควรมีความโกลาหลเล็กน้อยระหว่างสภาวะตื่น และควรโกลาหลอย่างรุนแรงภายใต้การดมยาสลบ 20 หากการคาดการณ์นี้เป็นจริง จากนั้นตรวจจับระดับความโกลาหลที่เปลี่ยนแปลงไปในการทำงานของสมองขนาดใหญ่ อาจเป็นประโยชน์สำหรับการตรวจสอบความลึกของการดมยาสลบและสำหรับการวิจัยการดมยาสลบขั้นพื้นฐาน ดังนั้นจึงมีความจำเป็นที่จะต้องพัฒนาเครื่องมือที่ไม่เพียงแต่สามารถระบุได้ว่าระบบทดลองนั้นไม่เป็นระเบียบ แต่ยังรวมถึงเครื่องมือในการประเมินระดับความโกลาหลที่เปลี่ยนแปลงไปในระบบด้วย

แม้ว่าเครื่องมือแบบคลาสสิกสำหรับการตรวจจับการมีอยู่และระดับความโกลาหลของข้อมูลจะช้า แต่ต้องใช้ข้อมูลจำนวนมาก มีความไวสูงต่อสัญญาณรบกวนในการวัด และแยกย่อยสำหรับกรณีขอบทั่วไป การวิจัยทางคณิตศาสตร์ล่าสุดได้มอบเครื่องมือใหม่ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับการตรวจจับ ความโกลาหลหรือการไม่มีในการบันทึกอนุกรมเวลาที่มีเสียงดัง ที่นี่ เป็นครั้งแรก (ตามความรู้ของเรา) เรารวมเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญหลายอย่างไว้ในไปป์ไลน์การประมวลผล Matlab แบบอัตโนมัติเต็มรูปแบบเดียว ซึ่งเราเรียกว่า Chaos Decision Tree Algorithm 21 (รูปที่ 1) อัลกอริทึมของ Chaos Decision Tree ใช้อนุกรมเวลาเดียวทุกประเภท ไม่ว่าจะเป็นการบันทึกของแหลมของระบบประสาท ระดับการถอดรหัสที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาของยีนหนึ่งๆ ราคาน้ำมันที่ผันผวน หรือการบันทึกฟลักซ์ของดาว และจัดประเภทข้อมูลที่บันทึกไว้ว่ามาจาก ระบบที่เด่น (หรือ "ปฏิบัติการ" 22 ) สุ่ม เป็นระยะ หรือวุ่นวาย อัลกอริธึมไม่ต้องการอินพุตจากผู้ใช้อื่นนอกจากการบันทึกอนุกรมเวลา แม้ว่าเราจะจัดโครงสร้างโค้ดของเราเพื่อให้ผู้ใช้เลือกจากรูทีนย่อยทางเลือกจำนวนหนึ่งได้ (ดูส่วนวิธีการ รูปที่ 1)

ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมคือการทดสอบว่าข้อมูลเป็นแบบสุ่มหรือไม่ อัลกอริทึมของ Chaos Decision Tree ใช้วิธีแบบตัวแทนเสมือนเพื่อทดสอบความสุ่ม โดยเปรียบเทียบเอนโทรปีการเปลี่ยนแปลงของอนุกรมเวลาดั้งเดิมกับเอนโทรปีของการเรียงสับเปลี่ยนของตัวแทนเสมือนของอนุกรมเวลานั้น หากผู้ใช้ไม่ได้ระบุอัลกอริธึมตัวแทนที่จะใช้ Chaos Decision Tree Algorithm จะเลือกการรวมกันของ Amplitude Adjusted Fourier Transform 33 ตัวแทนเสมือนและ Cyclic Phase Permutation 35 ตัวแทนเสมือน—ดูตารางเสริม 2, 3 หากเอนโทรปีการเรียงสับเปลี่ยนของเวลาเดิม -series อยู่ในการกระจายตัวแทน อนุกรมเวลาถูกจัดประเภทเป็นสุ่ม ถ้าเอนโทรปีการเปลี่ยนแปลงอยู่นอกการแจกแจงตัวแทน จากนั้นอัลกอริธึมจะดำเนินการตัดสัญญาณที่ป้อนเข้ามา มีรูทีนย่อย de-noising หลายรูทีน แต่ถ้าผู้ใช้ไม่ได้ระบุรูทีนย่อย ไปป์ไลน์จะใช้อัลกอริธึมการลดสัญญาณรบกวน 36 ของ Schreiber (ตารางเสริม 5) จากนั้นไปป์ไลน์จะตรวจสอบการสุ่มตัวอย่างสัญญาณเกินหากข้อมูลมีการสุ่มตัวอย่างมากเกินไป ไปป์ไลน์จะลดตัวอย่างข้อมูลซ้ำๆ จนกว่าจะไม่มีการสุ่มตัวอย่างเกินอีกต่อไป (โปรดทราบว่าอาจเลือกวิธีการสุ่มตัวอย่างแบบอื่นที่เสนอโดยEyébé Fouda และเพื่อนร่วมงาน 68 แทน—ดูตารางเสริม 6) สุดท้าย Chaos Decision Tree Algorithm จะทำการทดสอบความโกลาหล 0-1 กับข้อมูลที่ป้อนเข้ามา ซึ่งแก้ไขจากการทดสอบ 0-1 เดิมให้มีความไวต่อสัญญาณรบกวนน้อยลง ระงับความสัมพันธ์ที่เกิดจาก quasi-periodicity และทำให้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นปกติ ของสัญญาณทดสอบ (ดูส่วนวิธีการ) ผู้ใช้สามารถระบุค่าสำหรับพารามิเตอร์ที่ระงับความสัมพันธ์ของสัญญาณได้ แต่จะเลือกโดยอัตโนมัติตามการวิเคราะห์ ROC ที่ดำเนินการที่นี่ (รูปที่ 4) การทดสอบ 0-1 ที่แก้ไขแล้วให้สถิติเดียว Kซึ่งเข้าใกล้ 1 สำหรับระบบที่วุ่นวายและเข้าใกล้ 0 สำหรับระบบเป็นระยะ ทางลัดใด ๆ สำหรับ K อาจถูกป้อนเข้าสู่ไปป์ไลน์ และหากไม่มีการคัทออฟ ไปป์ไลน์จะใช้คัทออฟตามความยาวของอนุกรมเวลา (รูปที่ 6) เสริม ถ้า K มากกว่าจุดตัด ข้อมูลจะถูกจัดประเภทเป็นความวุ่นวาย และหากน้อยกว่าหรือเท่ากับจุดตัด ข้อมูลจะถูกจัดประเภทเป็นระยะ

ในบทความนี้ เราแสดงให้เห็นว่า Chaos Decision Tree Algorithm ทำงานด้วยความแม่นยำสูงมากในระบบจริงและระบบจำลองที่หลากหลาย แม้จะมีระดับสัญญาณรบกวนในการวัดที่ค่อนข้างสูง นอกจากนี้ ไปป์ไลน์ของเราสามารถติดตามการเปลี่ยนแปลงของระดับความโกลาหลได้อย่างแม่นยำ (เช่น การเปลี่ยนจากความโกลาหลเล็กน้อยเป็นความโกลาหลที่รุนแรง) ด้วยการมุ่งไปสู่การประยุกต์ใช้ทางชีววิทยา ระบบจำลองที่เราทดสอบได้รวมแบบจำลองสนามกลางมิติสูงของอิเล็กโตรไดนามิกของเยื่อหุ้มสมอง แบบจำลองของเซลล์ประสาทที่พุ่งขึ้น แบบจำลองของความเข้มข้นของเซลล์เม็ดเลือดขาวในมะเร็งเม็ดเลือดขาวชนิดเม็ดละเอียดเรื้อรัง และแบบจำลองของ การถอดความของคอมเพล็กซ์โปรตีน NF-κB นอกจากนี้เรายังทดสอบอัลกอริธึมกับการจำลองที่ไม่ใช่ทางชีวภาพที่หลากหลาย รวมถึงกรณีขอบที่ยากหลายกรณี รวมถึงระบบที่ไม่วุ่นวายที่แปลกประหลาด ระบบกึ่งคาบ สัญญาณรบกวนสี และระบบสุ่มแบบไม่เชิงเส้น (ดู อภิธานศัพท์สำหรับคำจำกัดความของคำศัพท์เหล่านี้) ซึ่งล้วนแล้วแต่ยากแก่การแยกแยะจากระบบที่วุ่นวาย 23,24,25,26 . นอกจากนี้เรายังทดสอบอัลกอริธึมบนระบบไฮเปอร์โกโอติก (อภิธานศัพท์) ซึ่งอาจแยกความแตกต่างจากสัญญาณรบกวน 25 ได้ยาก เช่นเดียวกับกระบวนการที่ไม่อยู่กับที่ (อภิธานศัพท์) หลายๆ กระบวนการเพื่อทดสอบความทนทานของอัลกอริธึมกับความไม่คงที่ สุดท้าย เราได้ทดสอบ Chaos Decision Tree Algorithm กับชุดข้อมูลเชิงประจักษ์ (เช่น ที่ไม่ได้จำลอง) หลายชุด ซึ่งการศึกษาอื่น ๆ ได้สร้างการมีอยู่จริงหรือไม่มีความโกลาหลมาก่อน สิ่งเหล่านี้รวมถึงวงจรอิเล็กทรอนิกส์ในสถานะเป็นระยะ แปลกไม่โกลาหล และโกลาหล 27 เลเซอร์ที่โกลาหล 28 ฟลักซ์ของดาวฤกษ์ของดาวที่ไม่วุ่นวายแปลก ๆ 29 ดัชนีการสั่นของแอตแลนติกเหนือ/เชิงเส้น/สุ่ม 30 และพาร์กินสันแบบไม่เชิงเส้น/สุ่ม และแรงสั่นสะเทือนที่จำเป็น 26 . โดยรวม ไปป์ไลน์ของเราดำเนินการด้วยความแม่นยำเกือบสมบูรณ์แบบในการจัดประเภทข้อมูลเหล่านี้เป็นแบบสุ่ม เป็นระยะ หรือวุ่นวาย ตลอดจนในการติดตามการเปลี่ยนแปลงระดับความโกลาหลทั้งในระบบจริงและระบบจำลอง สุดท้าย เราใช้อัลกอริธึมของเราในการบันทึกคลื่นไฟฟ้าหัวใจจากอาสาสมัครที่มีสุขภาพดี ผู้ป่วยภาวะหัวใจล้มเหลว และผู้ป่วยที่มีภาวะหัวใจห้องบน 31 และให้หลักฐานว่าความแปรปรวนของอัตราการเต้นของหัวใจสะท้อนถึงกระบวนการสุ่มที่เด่นชัดมากกว่ากระบวนการที่วุ่นวาย

เราได้จัดทำรหัส Matlab ของเราอย่างเสรีและเปิดเผยต่อสาธารณะที่ https://figshare.com/s/80891dfb34c6ee9c8b34


ไฟล์และลิงค์อื่นๆ

  • อาปา
  • ผู้เขียน
  • BIBTEX
  • ฮาร์วาร์ด
  • มาตรฐาน
  • RIS
  • แวนคูเวอร์

ผลงานวิจัย : ผลงานวารสาร › บทความ › peer-review

T1 - พฤติกรรมวิวัฒนาการ การแลกเปลี่ยน และการเปลี่ยนแปลงของประชากรแบบวนซ้ำและวุ่นวาย

N2 - การศึกษาจำนวนมากเกี่ยวกับวิวัฒนาการของลักษณะประวัติศาสตร์ชีวิตสันนิษฐานว่าตัวดึงดูดพลวัตของประชากรที่แฝงอยู่นั้นเป็นจุดสมดุลที่เสถียร อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์เชิงวิวัฒนาการสามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างมีนัยสำคัญในสถานการณ์ต่างๆ เรานำเสนอการวิเคราะห์โดยอิงตามพลวัตของการปรับตัวของแบบจำลองทางประชากรแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งเกี่ยวข้องกับการแลกเปลี่ยนซึ่งรูปร่างยังเป็นตัวกำหนดที่สำคัญของพฤติกรรมวิวัฒนาการ เราได้รับนิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับความเหมาะสมในขอบเขตวัฏจักร และด้วยเหตุนี้จึงนำเสนอการวิเคราะห์แบบไดนามิกที่ปรับเปลี่ยนได้ซึ่งเป็นพีชคณิต เราทำสิ่งนี้อย่างเต็มที่ในพื้นที่ 2 รอบและ (โดยใช้แพ็คเกจสัญลักษณ์) เกือบทั้งหมดสำหรับ 4 รอบ การจำลองแสดงให้เห็นและตรวจสอบผลลัพธ์ของเรา ด้วยการเปลี่ยนแปลงของประชากรที่สมดุล การแลกเปลี่ยนกับต้นทุนที่เร่งขึ้นทำให้เกิดกลยุทธ์ที่มีเสถียรภาพอย่างต่อเนื่อง (CSS) ในขณะที่การประนีประนอมกับต้นทุนที่ชะลอตัวทำให้เกิดการขับไล่ที่ไม่ใช่ ES การเปลี่ยนไปใช้ 2 รอบทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงที่ไม่ต่อเนื่อง: การปรากฏตัวของภูมิภาคกลางที่มีจุดแตกแขนงเกิดขึ้น ขนาดของภูมิภาคนี้ลดลงเมื่อเราเคลื่อนผ่านภูมิภาค 2 รอบ ขนาดของพื้นที่แตกแขนงลดลงอย่างต่อเนื่องในระหว่างการเปลี่ยนเป็น 4 รอบ เราขยายผลลัพธ์ของเราเป็นตัวเลขและด้วยการจำลองไปจนถึงรอบระยะเวลาและความโกลาหลที่สูงขึ้น การจำลองแสดงให้เห็นว่าพลวัตของประชากรที่วุ่นวายสามารถวิวัฒนาการจากสมดุลและในทางกลับกัน © 2010 สมาคมคณิตศาสตร์ชีววิทยา

AB - การศึกษาจำนวนมากเกี่ยวกับวิวัฒนาการของลักษณะประวัติศาสตร์ชีวิตสันนิษฐานว่าตัวดึงดูดพลวัตของประชากรที่แฝงอยู่นั้นเป็นจุดสมดุลที่เสถียร อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์เชิงวิวัฒนาการสามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างมีนัยสำคัญในสถานการณ์ต่างๆ เรานำเสนอการวิเคราะห์โดยอิงตามพลวัตของการปรับตัวของแบบจำลองทางประชากรแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งเกี่ยวข้องกับการแลกเปลี่ยนซึ่งรูปร่างเป็นปัจจัยสำคัญต่อพฤติกรรมวิวัฒนาการ เราได้รับนิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับความเหมาะสมในขอบเขตวัฏจักร และด้วยเหตุนี้จึงนำเสนอการวิเคราะห์แบบไดนามิกที่ปรับเปลี่ยนได้ซึ่งเป็นพีชคณิต เราทำสิ่งนี้อย่างเต็มที่ในพื้นที่ 2 รอบและ (โดยใช้แพ็คเกจสัญลักษณ์) เกือบทั้งหมดสำหรับ 4 รอบ การจำลองแสดงให้เห็นและตรวจสอบผลลัพธ์ของเรา ด้วยการเปลี่ยนแปลงของประชากรที่สมดุล การแลกเปลี่ยนกับต้นทุนที่เร่งขึ้นทำให้เกิดกลยุทธ์ที่มีเสถียรภาพอย่างต่อเนื่อง (CSS) ในขณะที่การประนีประนอมกับต้นทุนที่ชะลอตัวทำให้เกิดการขับไล่ที่ไม่ใช่ ES การเปลี่ยนไปใช้ 2 รอบทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงที่ไม่ต่อเนื่อง: ลักษณะที่ปรากฏของบริเวณตรงกลางซึ่งมีจุดแตกแขนงเกิดขึ้น ขนาดของภูมิภาคนี้ลดลงเมื่อเราเคลื่อนผ่านภูมิภาค 2 รอบ ขนาดของพื้นที่แตกแขนงลดลงอย่างต่อเนื่องในระหว่างการเปลี่ยนเป็น 4 รอบ เราขยายผลลัพธ์ของเราเป็นตัวเลขและด้วยการจำลองไปจนถึงรอบระยะเวลาและความโกลาหลที่สูงขึ้น การจำลองแสดงให้เห็นว่าพลวัตของประชากรที่วุ่นวายสามารถวิวัฒนาการจากสมดุลและในทางกลับกัน © 2010 สมาคมคณิตศาสตร์ชีววิทยา


ชุด Mandelbrot

บนระนาบจำนวนเชิงซ้อนสองมิติ การวนซ้ำฟังก์ชันทำให้เกิดรูปแบบที่น่าสนใจมากมาย (เช่น ถ้าราก (ทั้งของจริงและเชิงซ้อน) ของสมการ ถูกพล็อตบนระนาบเชิงซ้อน และรันโปรแกรมเพื่อกำหนดวิธีแก้ปัญหาที่ตัวเลขบนระนาบเชิงซ้อนเข้าใกล้ จากนั้นจึงสร้างรูปร่างที่ซับซ้อน ซึ่งถูกตัดเป็นสามชิ้นที่เหมือนกัน ขอบเขตของรูปร่าง เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิด เผยให้เห็นรูปแบบเศษส่วนที่ซับซ้อน รูปแบบที่โดดเด่นที่สุดคือบางทีชุด Mandelbrot ชุด Mandelbrot (ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ Benoit Mandelbrot) สร้างขึ้นจากระนาบจำนวนเชิงซ้อนสองมิติ มันเป็นไปตามสมการ: , ที่ไหน เป็นจำนวนเชิงซ้อน เริ่มจากการตั้งค่า และในกรณีนี้ สมการจะกลายเป็น . จากนั้นใช้ เป็นอินพุต หนึ่งวนซ้ำสมการ: และอื่นๆ ถ้าสำหรับค่าที่กำหนดของ , ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันจะมีจุดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ (บนระนาบจำนวนเชิงซ้อน) ไม่อยู่ในเซตของแมนเดลบรอต มิฉะนั้นจะอยู่ในชุด [ตัวอย่างเช่น ที่ = – 1 ผลลัพธ์จะผันผวนระหว่างตัวเลขสองตัวเสมอ: 0 และ – 1 ดังนั้น – 1 จะอยู่ในชุดของ Mandelbrot ที่ อย่างไรก็ตาม = 1 ผลลัพธ์พุ่งขึ้นเป็นอนันต์] การทำเช่นนี้สำหรับจุดทั้งหมดบนระนาบที่ซับซ้อนจะสร้างชุด Mandelbrot ที่ซับซ้อนอย่างน่าอัศจรรย์

แผนภาพแยกสองส่วน น่าสนใจ คือสิ่งที่ชุด Mandelbrot มีลักษณะคล้ายกันจากด้านข้าง ในสามมิติ[7]

รูปที่ 3: แผนภาพแฉกเป็นส่วนสำคัญของชุดแมนเดลบรอต การหมุนภาพด้านบนไปด้านข้าง และการดูแบบสองมิติจะเผยให้เห็นชุดของ Mandelbrot ส่วน "เข็ม" ที่แหลมคมของชุด Mandelbrot สอดคล้องกับส่วนที่วุ่นวายในแผนภาพแฉก วงกลมที่เล็กกว่าในชุด Mandelbrot สอดคล้องกับเส้นแยกส่วนแรก และส่วนรูปหัวใจที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับเส้นโค้งเดี่ยวที่ไม่มีแฉกใน แผนภาพแฉก

รูปแบบที่คล้ายกันจำนวนมาก (เช่นชุดเดิม) สามารถพบได้เมื่อปิดชุด Mandelbrot ในขณะที่เราซูมเข้าไปที่ส่วนต่างๆ ของฉากไปเรื่อยๆ รูปแบบที่สวยงามและซ้ำซากจำเจมากมายนับไม่ถ้วน (ซึ่งอาจคล้ายกับชุดนั้นเอง แต่จะไม่มีสำเนาที่แน่นอน) จะถูกเปิดเผย (ตามหลักการแล้ว รูปร่างใดๆ ก็ตามสามารถสร้างขึ้นจากชุด Mandelbrot ได้ หากเราสามารถซูมเข้าในสถานที่ที่เหมาะสม และนานพอ ชุด Mandelbrot ถือได้ว่าเป็น "ใบหน้าของพระเจ้า" ไม่น้อยไปกว่า สำหรับนักคณิตศาสตร์ โรเจอร์ เพนโรส ชุดของ Mandelbrot เป็นหลักฐานของสัจนิยมทางคณิตศาสตร์ มันซับซ้อนมากจนไม่สามารถประดิษฐ์ได้ แต่ค้นพบได้เท่านั้น

รูปที่ 4: Mandelbrot Set: นี่เป็นหนึ่งในเศษส่วนที่มีชื่อเสียงและสวยงามที่สุด มันวิเศษมากที่รูปแบบนี้สามารถสร้างทางคณิตศาสตร์ได้ ที่น่าสนใจคืออัตราส่วนของรัศมีของวงกลมที่ต่อเนื่องกันบนเส้นจริงในชุดแมนเดลบรอตคือค่าคงที่ Feigenbaum

รูปที่ 5: ภาพระยะใกล้ของชุด Mandelbrot เผยให้เห็นรูปแบบที่ซับซ้อนและไม่มีที่สิ้นสุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งใกล้กับขอบเขตของฉาก

การทำนายที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของทฤษฎีความโกลาหลคือระบบที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นต่างกันเล็กน้อยจะทำให้เกิดผลลัพธ์ที่แตกต่างกันโดยพื้นฐาน ตัวอย่างที่นิยมมากที่สุดคือเอฟเฟกต์ผีเสื้อ ผีเสื้อที่กระพือปีกสามารถก่อให้เกิดเหตุการณ์ต่อเนื่องกันซึ่งอาจจบลงด้วยการสร้างพายุฝนฟ้าคะนองในที่ห่างไกลบางแห่ง นี่เป็นเพียงตัวอย่างเท่านั้น และแนวคิดนี้ใช้ได้กับทุกสิ่งในจักรวาลของเรา การเปลี่ยนแปลงเล็กๆ น้อยๆ ในสภาวะเริ่มต้นทำให้เกิดผลลัพธ์ที่แตกต่างกันอย่างมาก ดังนั้นจึงไม่สามารถคาดเดาได้ แม้แต่ชุด Mandelbrot ก็สะท้อนสิ่งนี้ เห็นได้ชัดจากการซูมเข้าว่าการเปลี่ยนแปลงเล็กๆ น้อยๆ ในตำแหน่งของตัวเลขที่เลือก (บนระนาบเชิงซ้อน) จะจบลงในพื้นที่ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง [ส่วนสีดำของชุดแสดงตัวเลขที่คาดเดาได้ ในขณะที่ฟังก์ชันทำงานไม่เป็นระเบียบ (นั่นคือ แตกต่าง) หากตัวเลขนั้นอยู่ในพื้นที่สีน้ำเงิน การไล่ระดับสีแสดงว่าตัวเลขของภูมิภาคนั้นใกล้เคียงกับชุดมากเพียงใด การใช้สีที่ต่างกันยังเผยให้เห็นลวดลายที่ละเอียดและซับซ้อนอีกด้วย]

อีกวิธีในการแสดงภาพสิ่งนี้คือการใช้โทโพโลยี หากแผ่นพื้นที่ถูกเปลี่ยนโดยการยืดและบีบ จุดที่อยู่ใกล้ในตอนแรกอาจไปสิ้นสุดในพื้นที่ที่แปลงแล้ว นอกจากนี้ จุดที่อยู่ไกลในตอนแรกอาจอยู่ใกล้กัน


ความโกลาหลโดยนัย (2016)

ความโกลาหลโดยนัย เป็นการแสดงดนตรีของเศษส่วน ซึ่งเป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์โดยที่แต่ละส่วนเป็นภาพย่อส่วนทั้งหมด เศษส่วนนี้เรียกว่าแผนที่ลอจิสติกส์ เป็นการแสดงกราฟิกของฟังก์ชันการเติบโตทางลอจิสติกส์ ซึ่งเป็นสมการที่ควบคุมอัตราการเติบโตของประชากร

มีขอบเขตจำกัด เช่น ระบบนิเวศที่มีทรัพยากรจำกัด ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ว่าประชากรจะขยายพันธุ์ได้เร็วเพียงใดเมื่อเทียบกับความจุสูงสุดของสภาพแวดล้อม (แสดงโดยแกนนอนของภาพ) ระดับที่แท้จริงของประชากร (บนแกนตั้ง) อาจถึงสมดุลที่เสถียร โดยจะแกว่งไปมาระหว่างระดับสูง และระดับต่ำหรือระเบิดและพังอย่างดุเดือด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความแตกต่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ในพารามิเตอร์อาจหมายถึงความแตกต่างระหว่างวัฏจักรปกติของ "ช่วงบูม" และ "ช่วงอกหัก" หรือชุดระดับที่วุ่นวายโดยไม่มีสัมผัสหรือเหตุผลที่ชัดเจน

ในปี 1975 นักคณิตศาสตร์ เจมส์ ยอร์ค ได้พิสูจน์ว่าระบบลอจิสติกส์ใดๆ ที่แสดงวัฏจักรปกติที่มีช่วงเวลาคี่ (ซ้ำทุกๆ 3, 5 หรือ 7 ปี) ก็อ่อนไหวต่อพฤติกรรมที่โกลาหลเช่นกัน การค้นพบที่น่าทึ่งซึ่งเริ่มต้นสาขาคณิตศาสตร์ที่ตอนนี้เรียกว่าความโกลาหล ทฤษฎี. ชื่อบทความของ Yorke นั้นเรียบง่าย ช่วงที่ 3 บ่งบอกถึงความโกลาหล.

ในงานชิ้นนี้ ท่าทางดนตรีจะค่อยๆ เปลี่ยนจากลำดับไปสู่ความโกลาหลในทุกด้าน รวมทั้งระดับเสียง เสียงต่ำ และพื้นผิว ในตอนแรกเสียงนั้นบริสุทธิ์จนแทบไม่ได้ยิน พวกมันจะค่อยๆ รวมตัวกันเป็น C ต่ำ ซึ่งจะเริ่มสูงขึ้นในระดับเสียงทันที เมื่อมันค่อยๆ เพิ่มขึ้น มันจะแยกออกเป็นสองเสียง จากนั้นเป็นสี่เสียง และต่อเนื่องจนเกิดความโกลาหล ในขณะนั้นก็มีเสียงดังขึ้นเรื่อยๆ ทว่า ในใจกลางของพื้นที่ที่วุ่นวายที่สุด เช่น ดวงตาของพายุเฮอริเคน ปรากฏ "หน้าต่างแห่งระเบียบ" ที่ยอร์กบรรยายไว้ ซึ่งระบบออสตินาโตแบบปกติให้ภาพมายาของความมั่นคงและความสงบ แต่มาตรวัดสามหรือห้าส่วนบอกเป็นนัยเป็นลางไม่ดี ที่โชคชะตาอันวุ่นวายของดนตรี

นักดนตรีที่สนใจเรียนรู้เกี่ยวกับประวัติศาสตร์และทฤษฎีความโกลาหลทางคณิตศาสตร์ควรศึกษาหนังสือที่น่าสนใจของ James Gleick ซึ่งมีชื่อว่า ความวุ่นวาย.


ที่สุดของความโกลาหล ความคิดสร้างสรรค์ และสุขภาพจิต

แนวคิดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับหัวข้อของปัญหานี้อย่างไร: ความคิดสร้างสรรค์และความบ้าคลั่ง? เราขอแนะนำความเชื่อมโยงระหว่างความคิดสร้างสรรค์และความเจ็บป่วยทางจิตสามารถได้รับประโยชน์จากการพิจารณาความมั่นคงและความยืดหยุ่นของสภาวะทางปัญญา ตัวอย่างเช่น Martin Paulus และเพื่อนร่วมงานใช้กระบวนทัศน์การคาดเดาแบบสองทางเลือกเพื่อคำนวณเอนโทรปีของการตอบสนองตามลำดับที่ทำโดยผู้ที่เป็นโรคจิตเภท (Paulus et al., 1999) ในกระบวนทัศน์นี้ ผู้คน “guess” ซึ่งในสองทางเลือก (เช่น “left” หรือ “right”) จะเกิดขึ้นต่อไป โดยที่อันที่จริงลำดับของผลลัพธ์เป็นแบบสุ่ม เราสามารถวิเคราะห์ลำดับของการเดาและหาปริมาณเอนโทรปีของพวกมัน คนที่มีสุขภาพดีมักจะมีการแจกแจงแบบเกาส์เซียนของการเดาตามลำดับ โดยส่วนใหญ่มีการตอบสนองที่ระดับเอนโทรปีระดับกลาง และการตอบสนองที่ซ้ำซ้อนหรือเอนโทรปิกน้อยมาก ในทางตรงกันข้าม ผู้ป่วยโรคจิตเภทมักจะแสดงการตอบสนองซ้ำซ้อน (คาดเดาได้) และการตอบสนองแบบเอนโทรปิกมากขึ้น (คาดเดาไม่ได้) เป็นระยะเวลานานของพฤติกรรมที่คาดการณ์ได้ ถูกขัดจังหวะด้วยพฤติกรรมที่คาดเดาไม่ได้อย่างมาก เราแสดงให้เห็นว่าเอนโทรปีของการตอบสนองเชื่อมโยงกับไดนามิกของโดปามีน (DA) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราพบว่า DA “tone” (ความสมดุลของความเป็นปรปักษ์ต่อการเป็นปรปักษ์) มีการเชื่อมโยง “inverted-U” กับการคาดการณ์การตอบสนองได้ (Bilder et อัล., 1992) ตัวอย่างเหล่านี้ชี้ให้เห็นว่า สมดุล ความมั่นคงและความยืดหยุ่นเป็นสิ่งสำคัญในการรักษาการทำงานที่เหมาะสมและมีสุขภาพดี

ทฤษฎี Edge of Chaos ยังเข้ากันได้กับเฟรมเวิร์กโครงข่ายประสาทเทียมที่ Ralph Hoffman, Stephen Grossberg และเพื่อนร่วมงานของพวกเขาใช้เพื่ออธิบายโรคจิตเภท (Hoffman and Dobscha, 1989 Grossberg, 1999, 2000 McGlashan and Hoffman, 2000) การไม่เชื่อมต่อกันอย่างกว้างขวางหรือการด้อยค่าของไดนามิกของโดปามีนที่ควบคุมความเสถียรและความยืดหยุ่นของสถานะการเปิดใช้งานโครงข่ายประสาทเทียม อาจทำให้เครือข่ายได้รับพลังงานในพื้นที่ต่ำสุด (จึงเป็นการอธิบายการคาดการณ์ที่ผิดปกติ) แต่เมื่อสถานะการเปิดใช้งานเปลี่ยนไป สถานะใหม่มีแนวโน้มที่จะ 𠇍istant” มากกว่า และ “ เชื่อมต่อกับสถานะก่อนหน้าน้อยกว่า

เราเชื่อว่าแบบจำลองนี้สอดคล้องกับแบบจำลอง inverted-U ที่เกี่ยวข้องกับความคิดสร้างสรรค์ที่มีลักษณะทางจิตและความเสี่ยงทางพันธุกรรมสำหรับโรคจิต (Richards et al., 1988) และวรรณกรรมที่มีอยู่แสดงตัวอย่างความคิดสร้างสรรค์ที่โดดเด่นในบุคคลที่มีอาการป่วยทางจิต แม้ว่าผลลัพธ์โดยรวมมีแนวโน้ม เพื่อแสดงว่าไม่มีการเพิ่มขึ้นโดยรวมในความสำเร็จเชิงสร้างสรรค์สำหรับผู้ที่มีอาการป่วยทางจิตขั้นรุนแรง (Rothenberg, 1983 Eisenman, 1990 Abraham et al., 2007 Jaracz et al., 2012) Consistent reports suggest that healthy relatives of those with schizophrenia, and those with schizotypal traits, may have elevated creativity we suggest that these individuals may have a tendency to greater network flexibility, but additional traits help protect them from developing schizophrenia (Schuldberg, 2000 Kinney et al., 2001 Karimi et al., 2007 Abraham and Windmann, 2008 Batey and Furnham, 2008 Nelson and Rawlings, 2010). Consistent with this are Kinney et al. (2001) results showing higher levels of creativity in people with intermediate levels of schizotypal or schizoid traits, relative to those with lower levels of these traits และ relative to those with overt schizophrenia.

Evidence about bipolar disorder is less clear, but empirical studies show similar inverted-U distributions: a milder degree of mood disorders, bipolar temperaments, or genetic liability (without full-blown bipolar disorder) may be linked to increased creative achievement, but more severe illness is not. For example, children with pediatric bipolar disorder perform worse on tests of set-shifting or cognitive flexibility (Gorrindo et al., 2005 Dickstein et al., 2007), and while adults with bipolar disorder may have increased inventiveness, scores are lower during depressive episodes (Rybakowski and Klonowska, 2011). Richards et al. (1988) also reported that participants with cyclothymia, and healthy first-degree relatives of patients with bipolar disorder, had higher lifetime creativity scores compared to patients with bipolar disorder and healthy controls with no family history of major affective disorder or schizophrenia. Similarly, researchers found that hypomanic (Furnham et al., 2008) or hyperthymic traits in healthy individuals (Shapiro and Weisberg, 1999) were significantly correlated with measures of creativity. Overall, the data suggest that hereditary risk (without severe impairment), and/or moderate subclinical variations of bipolar disorder or schizophrenia may be associated with enhanced creative achievement, while the more severe forms of these syndromes are associated with impairments of creativity, paralleling impairments in other cognitive processes.

With respect to the evolutionary advantages, Kauffman wrote:

“If it proves true that selection tunes genomic systems to the edge of chaos, then evolution is persistently exploring networks constrained to this fascinating ensemble of dynamical systems (Kauffman, 1993, p. 522).”

We suggest that the underlying genomic systems, and their systems biology correlates at the level of neural network activation states, are tuned to the edge of chaos, helping explain both the observed associations and dissociations of creativity with mental illness.

These assumptions are consistent with the hypothesis that neural network dynamics associated with cognitive flexibility are linked to creative achievement because these dynamics generate activation states that are novel with respect to population averages, and favor performance on metrics that are tuned to divergent thinking (problem-solving processes that involve exploring multiple alternative solutions). But if the dynamics proceed too far in the direction of flexibility, entropy, and unpredictability, then cognitive products may be novel and unpredictable, but may be “over the edge of chaos,” and not be perceived as useful, valuable, or effective.


Bifurcation and Chaos of a Discrete-Time Population Model

A Leslie population model for two generations is investigated by qualitative analysis and numerical simulation. For the different parameters NS และ NS in the model, the dynamics of the system are studied, respectively. It shows many complex dynamic behavior, including several types of bifurcations leading to chaos, such as period-doubling bifurcations and Neimark–Sacker bifurcations. With the change of parameters, attractor crises and chaotic bands with periodic windows appear. The largest Lyapunov exponents are numerically computed and can verify the rationality of the theoretical analysis.

1. บทนำ

In 1964, Hénon took KAM theorem as the background and found that there was deterministic random behavior in two-dimensional nonintegrable Hamiltonian system, that is claimed Hénon attractor. Ruelle and Takens proposed the concept of “strange attractor,” which promoted the research of Smale horseshoe attractor [1]. Lorenz [2] pointed out that there must be a connection between the inexact recurrence of climate and the inability of long-term weather forecast. It is found that the chaos phenomenon is “extremely sensitive to the initial conditions.” The word “chaos” is formally used by Li and Yorke [3], which is considered as the first formal expression of chaos theory. In [1], an example of horseshoe mapping is given, which opened the mathematical method of studying chaos. Lasota [4] studied the initial value problem of the first order nonlinear partial differential equation of the wormhole model. Brunovsky [5] gave the definition of chaotic mapping.

A single species continuous-time population model is studied by [6] and later studied further by Pearl and Reed [7].

May [8] studied several discrete-time models with a single-species displaying chaotic behavior for certain parameter values. Beddington et al. [9] studied that discrete-time host, parasitoid models show complex dynamic behavior.

Leslie [10, 11] introduced an age-structured linear population model. Later, this kind of discrete-time models contain linear or nonlinearity forms, which are called Leslie models. Ugarcovici and Weiss [12] studied the dynamical behavior of Ricker model. This model is described by the two-dimensional mapping

ที่ไหน NS และ y stand for the density of the first age group and the second age group. NS และ γa are the group’s initial fertility rates (NS, γ > 0), NS is the survival rate from the first age group to the second one, and λ is the decay index, λ > 0. In equation (1), the fertility rate monotonically decreases as a function of the total population size, and the fertility decay is exponential. The other mold is the Hassell model. It is described by the two-dimensional mapping

ที่ไหน NS และ γa are the group’s initial fertility rates, NS is the survival rate from the first age group to the second one, and β is the decay index, β > 1. In equation (2), the fertility rate monotonically decreases as a function of the total population size and the fertility decay is polynomial. Guo [13] studied the chaos control of the population model.

For some parameter values, these models admit an ergodic attractor which supports a unique physical probability measure. This physical measure satisfies in the strongest possible sense the population biologist’s requirement for ergodicity in their population models. Wikan and Mjølhus [14] and Ugarcovici and Weiss [12] showed that Ricker mapping and Hassell mapping produce Hénon-like chaotic attractors.

Here, for the different parameters NS และ NS in the model, the dynamics of the system is studied, respectively. It shows many complex dynamic behavior, including several types of bifurcations leading to chaos, such as period-doubling bifurcations and Neimark–Sacker bifurcations. With the change of parameters, attractor crises and chaotic bands with periodic windows appear. The largest Lyapunov exponents are numerically computed and can verify the rationality of the theoretical analysis. Zhu and Zhao [15] studied the dynamic complexity of a host, parasitoid ecological model with the Hassell growth function for the host. Liu and Xiao [16] studied the complex dynamic behaviors of a discrete-time predator-prey system.

In biology or ecology, the complex chaotic behavior of this mapping shows the relationship among the number, birth rate, and survival rate in a population, whether it survives in a balanced state or makes the population develop in disorder or chaos. This research can provide theoretical basis and help for the research in biology or ecology. Through the study of these complex dynamic properties of the population model, it can guide people to make corresponding meaningful work to keep the ecological balance. For example, it is applied in the marine fishing, or in the reproduction and population growth of a certain species in nature.

2. The Nonlinear Hassell Population Model

Hassell model is described by the two-dimensional mapping :

are the density of the first age group and the second one. NS และ γa are the group’s initial fertility rates, NS is the survival rate from the first age group to the second one, and β is the decay index, β > 1. In equation (3), the fertility rate monotonically decreases as a function of the total population size and the fertility decay is polynomial.

3. Stability Analysis of Hassell Population Model

The equation (3) has one equilibrium point:

, where are positive and satisfy

The Taylor series expansion of equation (3) at the equilibrium point: is written as

The characteristic equation of equation (9) is

Equation (11) can be rewritten as

The roots of equation (12) are

Both eigenvalues are real numbers and

Equation (15) can be solved as

The eigenvalues become complex numbers and are inside the unit circle in the complex - plane for

The positive equilibrium point is stable under conditions (17) and (18).

4. Bifurcation Analysis

Equation (3) cannot be solved analytically, and therefore its long-term behavior must be studied by numerical simulation. Figure 1 shows the bifurcation diagrams of equation (3) for the density of the first age group NS กับ

, และ NS = 0.7, as the parameter NS เพิ่มขึ้น Figure 1 is magnified as Figure 2.

When the initial fertility rate NS changes between 0 and 60, equation (3) shows complicated features. For 0 < NS < 0.75, (0, 0) is a global attractor. There exists a positive fixed point that is asymptotically stable for 0.75 < NS < 15.8. ที่ NS = 15.8, it appears a cascade of period-3 orbit. สำหรับ NS between 15.8 and 24, it exists a period-3 window which is embedded in the strange attractor for a long time. Then, each of the period-3 orbits begins to undergo a flip bifurcation, leading to chaos. The phase portraits of various NS corresponding to Figure 2(a) are plotted in Figures 3(a)‐3(b). Tianyan-Li and Yorke [3] proved that if a system has period-3 point, it has all periodic points. This is also verified in the following analysis as NS เพิ่มขึ้น

เมื่อไหร่ NS passes through the range (24.4, 27), the bifurcation diagram in Figure 2(b) shows that this window is not a periodic window with a cascade of periodic attractors, but that it includes more complex dynamic patterns. It appears that several attractors coexist in this region: period-3 and period-5 attractors. There is a very wide chaotic band with period-6 orbit meanwhile (see Figure 3(b)).

เมื่อไหร่ NS = 27.2, the chaotic band suddenly disappears in a crisis and the system enters a periodic window with a cascade of period-doubling bifurcations leading to a chaotic attractor with periodic windows. It appears period-11 and starts to appear period-9 when NS = 27.24. The phase portraits which are associated with Figure 2(b) are disposed in Figures 3(b)‐3(c). เมื่อไหร่ NS passes through the range (27.24, 30), the detailed bifurcation diagram in Figure 2(c). เนื่องจาก NS > 28.26, there is a cascade of period-doubling bifurcation leading to a wide chaotic region, characterized by tangent bifurcation and attractor crises. A very narrow periodic window appears again when NS = 29. When NS increases beyond 28.5, a chaotic attractor abruptly appears and the periodic attractor disappears. The chaotic band has changed into four chaotic bands. This kind of transilience of the chaotic state caused by the continuous change of parameters is called chaos crisis by Grebogi et al. [17]. Because the unstable periodic orbit meets the secondary chaotic band, the orbits in the chaotic band is filled between all levels of orbits, leading to the emergence of chaos crisis. The phase portraits of various NS corresponding to Figure 2(c) are plotted in Figures 3(d)–3(f). เมื่อไหร่ NS passes through the range (30.8, 31.7) in Figure 2(d), a large periodic window appears then, chaos appears because of period-doubling bifurcation. เมื่อไหร่ NS = 49, it appears as period-4, and it appears as period-9 at NS = 51.2, at last, equation (6) appears as a chaotic attractor. The phase portraits which are associated with Figure 2(e) are disposed in Figures 3(g) and 3(h).

From the above analysis, it can be seen that the two-dimensional nonlinear mapping is a process of intermittently breaking up in accordance with periodic behavior and chaos phenomenon so that the system appears chaotic motion state, which is called Pomeau–Manneville path (through intermittence chaos) by Eckmann [18]. In the process of parameter change, when the periodic window appears, the one of the roots of equation (11) is −1. The unstable period-doubling bifurcation happens immediately, and the periodic point becomes the periodic saddle point. Once the mapping point falls near the unstable periodic point, it will leave along the unstable manifold, and chaos will appear. Equation (3) also contains Feigenbaum path (through fork bifurcation) to chaos.

Figures 4(a) and 4(b) show the bifurcation diagrams of equation (3) for the density of the first age group NS and the second one y with , and NS = 38, as the parameter NS changes between 0 and 0.7. Figure 4(c) is the graph magnified version of Figure 4(a).

In Figure 4(a), as NS increases from 0 to 0.03, a narrow chaotic band appears. เมื่อไหร่ NS = 0.03, the chaotic regime suddenly disappears in a crisis and the system appears a period-2 orbit for NS ∈ (0.03, 0.435), and a stable fixed point for NS ∈ (0.435, 0.5526). A flip bifurcation occurs at NS = 0.435. Figure 5(a) presents the phase portrait of period-2. เนื่องจาก NS ∈ (0.5526, 0.61) in Figure 4(c), equation (3) goes through a quasi-periodic region (including tangent bifurcation, narrow and wide periodic windows, and frequency lockings which appear as a collapse of the invariant circle to a periodic orbit). We can see that there is a stable fixed point for NS < 0.5526, and the fixed point loses its stability as NS เพิ่มขึ้น A Neimark–Sacker bifurcation occurs at NS = 0.5526 and an attracting invariant cycle bifurcates from the fixed point. In this case, equation (11) has two conjugate complex roots and , satisfying = 1.

เนื่องจาก NS is increasing, the smooth invariant loop becomes larger and no longer smooth. At last, the invariant loop breaks. เนื่องจาก NS = 0.61, there is a cascade of period-doubling bifurcation leading to a wide chaotic region, characterized by tangent bifurcation and attractor crises. Furthermore, when NS ∈ (0.565, 0.57) and NS ∈ (0.615, 0.619), we can observe the period-5, 8 windows within the chaotic regions, respectively. The phase portraits of various NS corresponding to Figure 4(c) are plotted in Figures 5(b)–5(f).

According to the above analysis, when NS is increasing, chaos appears by the Ruelle Takens Newhouse scheme (through Neimark–Sacker bifurcation) and the Pomeau–Manneville path (through intermittence chaos). In the larger region of the parameter space, the path leading to chaos is related to the Neimark–Sacker bifurcation. In these ways, the locking phase and quasiperiodic motion can be observed.

5. The Largest Lyapunov Exponent

In this section, the largest Lyapunov exponent, which has proven to be the most useful dynamic diagnostic tool for chaotic systems, is considered. This quantity represents the average exponential rate of divergence or convergence of nearby orbits in phase space [19]. For a chaotic attractor, the largest Lyapunov exponent LEmax must be positive. If LEmax is negative, this implies a stable state or a periodic attractor.

The largest Lyapunov exponents corresponding to the cases shown in Figures 1 and 4 have been calculated and plotted in Figures 6(a) and 6(b), respectively. The existence of chaotic regions in the parametric space is clearly visible in these figures. The largest Lyapunov exponents for the strange attractors were found to be LEmax = 20.02,31.81, corresponding to the parameters NS และ NSตามลำดับ

In Figure 6(a), we can easily see that the maximum Lyapunov exponents are negative for NS

(0, 25.5), that is to say, equation (3) has no chaotic region. สำหรับ NS (25.5, 35), some Lyapunov exponents are bigger than 0, some are smaller than 0, so there exists stable fixed point or stable periodic windows in the chaotic region. In Figure 6(b), the maximum Lyapunov exponents are positive for NS (0, 0.03), that is to say, equation (3) appears in a chaotic region. สำหรับ NS (0.03, 0.526), the maximum Lyapunov exponents are negative, equation (3) appears periodic. สำหรับ NS (0.526, 0.7), some Lyapunov exponents are bigger than 0, some are smaller than 0, so there exist periodic windows in the chaotic region.

We find that the values of the maximum Lyapunov exponents are consistent with the dynamic properties of the system under different parameters.

6. Conclusion

A Leslie population model for two generations is investigated by qualitative analysis and numerical simulation. For the different parameters NS และ NS in the model, the dynamics of the system is studied, respectively. It shows many complex dynamic behavior, including several types of bifurcations leading to chaos, such as period-doubling bifurcations and Neimark–Sacker bifurcations. With the change of parameters, attractor crises and chaotic bands with periodic windows appear. The largest Lyapunov exponents are numerically computed and can verify the rationality of the theoretical analysis. Numerical simulation results not only show the consistence with the theoretical analysis but also display the new and interesting dynamical behaviors, including different periodic orbits in chaotic regions and boundary crisis. When the parameter γ changes in different value ranges, what more complex dynamic properties of the model will be a problem worthy of further study.

In biology or ecology, the complex chaotic behavior of this mapping shows the relationship among the number, birth rate, and survival rate in a population, whether it survives in a balanced state or makes the population develop in disorder or chaos. This research can provide theoretical basis and help for the research in biology or ecology. For example, it is applied in the marine fishing, or in the reproduction and population growth of a certain species in nature.

ความพร้อมใช้งานของข้อมูล

No data, models, or code were generated or used during the study.

ผลประโยชน์ทับซ้อน

ผู้เขียนประกาศว่าพวกเขาไม่มีความขัดแย้งทางผลประโยชน์

รับทราบ

This work was supported by the High Level Scientific Research Project Cultivation Fund of Shandong Women’s University and Zhejiang Provincial Natural Science Foundation of China (Grant no. Y515387).

อ้างอิง

  1. S. Smale, “Differentiable dynamical systems,” Bulletin of the American Mathematical Societyฉบับที่ 73 หมายเลข 6, pp. 747–817, 1967. View at: Publisher Site | Google Scholar
  2. E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow,” Journal of the Atmospheric Sciencesฉบับที่ 20 ไม่ 2, pp. 130–141, 1963. View at: Publisher Site | Google Scholar
  3. T.-Y. Li and J. A. Yorke, “Period three implies chaos,” The American Mathematical Monthlyฉบับที่ 82 หมายเลข 10, pp. 985–992, 1975. View at: Publisher Site | Google Scholar
  4. A. Lasota, “Stable and chaotic solutions of a first order partial differential equation,” Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applicationsฉบับที่ 5 ไม่ 11, pp. 1181–1193, 1981. View at: Publisher Site | Google Scholar
  5. P. Brunovský, “Notes on chaos in the cell population partial differential equation,” Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applicationsฉบับที่ 7 ไม่ใช่ 2, pp. 167–176, 1983. View at: Publisher Site | Google Scholar
  6. P. F. Verhulst, “Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement,” Correlation between Mathematics and Physicsฉบับที่ 10, pp. 113–121, 1838. View at: Google Scholar
  7. R. Pearl and L. J. Reed, “On the rate of growth of the population of the United States since 1790 and its mathematical representation,” การดำเนินการของ National Academy of Sciencesฉบับที่ 6 ไม่ 6, pp. 275–288, 1920. View at: Publisher Site | Google Scholar
  8. R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics,” ธรรมชาติฉบับที่ 261, no. 5560, pp. 459–467, 1976. View at: Publisher Site | Google Scholar
  9. J. R. Beddington, C. A. Free, and J. H. Lawton, “Dynamic complexity in predator-prey models framed in difference equations,” ธรรมชาติฉบับที่ 255 หมายเลข 5503, pp. 58–60, 1975. View at: Publisher Site | Google Scholar
  10. P. H. Leslie, “On the use of matrices in certain population mathematics,” ไบโอเมทริก้าฉบับที่ 33 ไม่ 3, pp. 183–212, 1945. View at: Publisher Site | Google Scholar
  11. P. H. Leslie, “Some further notes on the use of matrices in population mathematics,” ไบโอเมทริก้าฉบับที่ 35 ไม่ 3/4, pp. 213–245, 1948. View at: Publisher Site | Google Scholar
  12. I. Ugarcovici and H. Weiss, “Chaotic dynamics of a nonlinear density dependent population model,” Nonlinearityฉบับที่ 17 ไม่ 5, pp. 1689–1711, 2004. View at: Publisher Site | Google Scholar
  13. F. Guo, “Chaotic dynamics and chaos control of Hassell-type recruitment population model,” Discrete Dynamics in Nature and Societyฉบับที่ 2020, Article ID 8148634, 9 pages, 2020. View at: Publisher Site | Google Scholar
  14. A. Wikan and E. Mjølhus, “Over compensatory recruitment and generation delay in discrete age-structured population models,” วารสารชีววิทยาคณิตศาสตร์ฉบับที่ 35 ไม่ 2, pp. 195–239, 1996. View at: Publisher Site | Google Scholar
  15. L. Zhu and M. Zhao, “Dynamic complexity of a host-parasitoid ecological model with the Hassell growth function for the host,” Chaos, Solitons & Fractalsฉบับที่ 39 ไม่มี 3, pp. 1259–1269, 2009. View at: Publisher Site | Google Scholar
  16. X. Liu and D. Xiao, “Complex dynamic behaviors of a discrete-time predator-prey system,” Chaos, Solitons & Fractalsฉบับที่ 32 ไม่ 1, pp. 80–94, 2007. View at: Publisher Site | Google Scholar
  17. C. Grebogi, E. Ott, and J. A. Yorke, “Crises, sudden changes in chaotic attractors, and transient chaos,” Physica D: Nonlinear Phenomenaฉบับที่ 7 ไม่ใช่ 1–3, pp. 181–200, 1983. View at: Publisher Site | Google Scholar
  18. เจ.พี. Eckmann, “Roads to turbulence in dissipative dynamical systems,” Reviews of Modern Physicsฉบับที่ 53 หมายเลข 4, pp. 643–654, 1981. View at: Publisher Site | Google Scholar
  19. M. T. Rosenstein, J. J. Collins, and C. J. De Luca, “A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets,” Physica D: Nonlinear Phenomenaฉบับที่ 65 ไม่ 1-2, pp. 117–134, 1993. View at: Publisher Site | Google Scholar

Copyright

Copyright © 2020 Guo Feng and Song Xinghao. นี่เป็นบทความการเข้าถึงแบบเปิดที่เผยแพร่ภายใต้ใบอนุญาต Creative Commons Attribution ซึ่งอนุญาตให้ใช้ แจกจ่าย และทำซ้ำได้ไม่จำกัดในสื่อใดๆ โดยต้องอ้างอิงงานต้นฉบับอย่างเหมาะสม


บทสรุป

Perhaps the most responsible way to end an investigation of chaos is to refuse the temptation to parse a subject so hopelessly ironic. It is, after all, the principle of chaos that opens the abyss of indeterminacy and undecidability in all interpretive endeavors. Suffice it to say that, despite its decidedly negative public reputation, the image of chaos may be found in fact to have positive religious value. Even more important is the recognition that the idea of chaos represents one of the honored ways religions have tried to imagine the ambiguous origins and equivocal nature of existence. For this very reason the meaning of chaos in the history of religions maintains its imaginative integrity by remaining chaotic. Respecting the root topsy-turviness of chaos should not, however, prevent careful reflection on its imaginative history since, even in its most negative guise, the phantomlike shapes of chaos are directly related to the way particular religions have envisioned reality. The nature and significance of chaos, therefore, touches upon a number of issues that are central to the overall interpretive understanding and definition of religion.


Seasonality and Chaos

Benincà et al. (1), however, show that the predictable seasonal cycle is in fact a key driver that forces the dynamic toward the erratic. In the absence of seasonality, their rock-pool dynamic is predicted to oscillate toward a stable equilibrium with a period of around 1.5 y. However, the annual period of the seasonal cycle forces chaotic fluctuations onto the inherent cyclical clockwork. The emergence of complex dynamics from seasonal forcing has previously been dissected for models of predator–prey interactions (14) and infectious diseases (11). However, in the case of the former, empirical evidence appears sometimes equivocal (15), and in the case of the latter, the seasonally forced nonlinearities suggestive of chaos appear to lead to such violent fluctuations that frequent extinctions break the nonlinear feedbacks (16). From a dynamical point of view, it almost appears as if there is a trade-off: the magnitude of seasonality that permits sustained chains of transmission may be insufficient to drive epidemics into the chaotic regime.

In light of previous theory, it is fascinating that the discovery of a likely case of chaotic dynamics in nature is not in a consumer–resource system but rather in a rock–paper–scissors-like competitive system (17). The successional dynamics share some consumer–resource-like properties, though, in the sense that each species cyclically generates space for recruitment—the ultimate resource in the intertidal—for the next species. Barnacles need bare rock but as they grow they inhibit their own recruitment and facilitate the growth of the algae, which in turn allow the settlement of mussels, which upon death and detachment leave barren pools behind ready for another chaotic, successional cycle.

Theoretical ecology has come a long way from the 1970s and 1980s when models were generally touted as useful for highlighting concepts and providing proof-of-concept of novel ideas. In 1985, two of the most important contributors to modern mathematical ecology, Bill Schaffer and Mark Kot, published a seminal paper that used a simple ecological model to suggest a potential role for chaos in infectious disease ecology (18). After years of working on a vast array of biological problems, Schaffer and Kot soberly summarized their expectation for a role of “simple equations” in ecology (18): “Put another way, the variables studied in nature are generally embedded in more complex systems. As a practical matter, it is unlikely that population dynamicists will ever be able to write down the complete governing equations for any natural system.” Benincà et al. (1) demonstrate that given high-resolution, long-term ecological monitoring data—at least in one select field system—four simple equations are enough to characterize the erratic wiring diagram of nature and how the changing seasons shift the rock-pool system in and out of the chaotic regime. It is a beautiful illustration of just how far the discipline has moved.